szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 gru 2006, o 16:24 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Inowrocław
Wykaż, że liczba 2+2^{2}+2^{3}+...+2^{2006} jest podzielna przez 3

Proszę o pomoc!

Jeszcze tylko znaczniki texa i byłoby idealnie ;) Calasilyar
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 gru 2006, o 16:43 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 3306
Lokalizacja: Lebendigentanz
Mamy:

\sum\limits_{k = 0}^{n} 2^{k} = 2^{n + 1} - 1

Stąd:

\sum\limits_{k = 1}^{2006} 2^{k} = 2^{2007} - 2 = 2(2^{2006} - 1)

Mamy też:
2^{2} \equiv 1 \ (\mod{3}\ )
Zatem:
(2^{2})^{1003} \equiv 1^{1003} \ (\mod{3}\ )\\
2^{2006} \equiv 1 \ (\mod{3}\ )\\
2^{2006} - 1 \equiv 0 \ (\mod{3}\ )

Stąd wynika, że liczba 2^{2006} - 1 jest podzielna przez 3, więc i liczba 2(2^{2006} - 1) jest podzielna przez 3 [cbdo].
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 gru 2006, o 09:58 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Inowrocław
Jak tak to jeszce jedna, chyba podobna :)

Wykaż podzielność przez 200:
2001^{8}+3*2001^{4}-4
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 gru 2006, o 11:00 
Użytkownik

Posty: 63
Lokalizacja: Kraków
2001\equiv1(mod200)\\
2001^{8}\equiv1(mod200)\\
\\
2001\equiv1(mod200)\\
2001^{4}\equiv1(mod200)\\
3*2001^{4}\equiv3(mod200)\\
\\
-4\equiv-4(mod 200)
po dodaniu strona otrzymujemy:
2001^{8}+3*2001^{4}-4\equiv0(mod200) cnd
pewnie i tak nie za wiele rozumiesz:) zapoznaj sie z kongruencjami, ciekawa sprawa:)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 gru 2006, o 11:15 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2303
Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska
2001^8+3\cdot 2001^4-4=(2001^4-1)(2001^4+4)=\\(2001^2-1)(2001^2+1)(2001^4+4)=\\(2001-1)(2001+1)(2001^2+1)(2001^4+4)=\\200\cdot 20020(2001^2+1)(2001^4+4)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 gru 2006, o 11:18 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 955
Lokalizacja: BFGD
2001^{8}+3{\cdot}2001^{4}-4=2001^{8}-2001^{4}+4{\cdot}2001^{4}-4=2001^{4}(2001^{4}-1)+4(2001^{4}-1)
=(2001^{4}-1)(2001^{4}+4)
2001^{4}-1=(2001-1)(2001^{3}+2001^{2}+2001+1)=2000(2001^{3}+2001^{2}+2001+1)
2000 dzieli się przez 200, więc cały iloczyn, a zarazem pierwsze wyrażenie jest podzielne przez 200.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 uzasadnij - silnia i podzielność (poziom gimnazjum)  jmkpc  2
 Podzielność liczb - zadanie 4  Asiuk  8
 Udowodnij że liczba jest wielokrotnością 30  vergil  6
 udowodnic podzielność takowej liczby  bandh  1
 Podzielność przez 2008  szymek12  7
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl