szukanie zaawansowane
 [ Posty: 14 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 28 gru 2006, o 19:36 
Użytkownik

Posty: 24
Lokalizacja: Nurzec Stacja
Witam. Jestem początkująca i mam pewne problemy z kilkoma zadaniami. Kompletnie nie wiem, jak się za nie zabrać. Byłabym wdzięczna za jakąkolwiek pomoc, chociażby wskazówki.

1. Wykaż, że liczba 3^{54} - 3^{27} * 2^{12} + 2^{24} jest liczbą złożoną.

W tym przykładzie dochodzę do momentu wyliczenia końcówki danej liczby (13) i nie wiem, co dalej.

2. Liczby całkowite m, n, k spełniają równość k^{2} - m^{2} - n^{2} = 2(m-n)(k-m+n). Wykazać, że 2m*n jest kwadratem liczby całkowitej.

3. Wykaż, że liczba 1999 + 1998*1999*2000 jest sześcianem liczby całkowitej.

4. Oblicz wartość ułamka:

\frac{12*5^{2n+1} - 8*5^{2n} + 4*5^{2n-1}}{4*5^{2n-2}}

gdzie n jest liczbą naturalną.

5. Udowodnij, że jeżeli a+c = 2b i a^{2} + c^{2} = 2b^{2}, to a=b=c.

6. Udowodnij, że jeżli liczby a i b są naturalne oraz liczba a^{2} + ab + b^{2} jest podzielna przez a+b, to liczba a^{4} + b^{4} jest podzielna przez (a+b)^{2}.


Z góry wielkie dzięki za jakąkolwiek pomoc. :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 gru 2006, o 20:04 
Gość Specjalny

Posty: 8603
Lokalizacja: Kraków
ad. 3)
a=1999
Mamy: a + (a-1)a(a+1) = a + a(a^2-1)=a+a^3-a=a^3
Czyli sześcian liczby 1999.

[ Dodano: 28 Grudzień 2006, 20:10 ]
ad. 4)
\frac{12*5*5^{2n}-8*5^{2n}+\frac{4}{5}*5^{2n}}{\frac{4}{25}*5^{2n}} = \frac{12*5-8+\frac{4}{5}}{\frac{4}{25}} = 330
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 28 gru 2006, o 20:10 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 3807
Lokalizacja: nie wiadomo
5)
2b=a+c czyli b=\frac{a+c}{2} więc b jest srednią arytmetyczną a oraz c
dalej podstawiam to do drugiego równania:
a^{2}+c^{2}=2(\frac{a^{2}+2ac+b^{2}}{4}) czyli a^{2}+c^{2}=\frac{a^{2}+2ac+b^{2}}{2} mnoże obie strony przez 2 i mam
2a^{2}+2c^{2}=a^{2}+2ac+c^{2} przenoszę wszystko na lewo
a^{2}-2ac+c^{2}=0 czyli (a-c)^{2}=0 zachodzi to jedynie wówczas gdy a=c skoro więc b jest średnią arytmetyczną a oraz c więc wynosi tyle samo.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 gru 2006, o 20:22 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 3306
Lokalizacja: Lebendigentanz
2.
k^{2} - m^{2} - n^{2} = 2(m - n)(k -m + n)\\
k^{2} - m^{2} - n ^{2} = -2m^{2} - 2n^{2} - 2kn + 2km\\
k^{2} + m^{2} + n^{2} + 2kn - 2km - 2mn + 2mn = 0\\
(k - m + n)^{2} + 2mn = 0\\
(k - m + n)^{2} = -2mn

Stąd liczba 2mn jest kwadratem liczby całkowitej wedy i tylko wtedy gdy k - m + n = 0 (w przeciwnym wypadku liczba -2mn jest kwadratem liczby całkowitej różnej od zera, więc liczba 2mn jest ujemna)

6.
a^{2} + ab + b^{2} = (a + b)^{2} - ab
Ponieważ (a+b)^{2} - ab ma być liczbą podzielną przez a + b, to liczba: ab również musi być podzielna przez a+b.

Mamy:
a^{4}+ b^{4} = (a^{2} + b^{2})^{2} - 2a^{2}b^{2}
Ponieważ ab dzieli się bez reszty przez a + b to a^{2}b^{2} = (ab)^{2} dzieli się bez reszty przez (a + b)^{2}. Teraz wystarczy analogicznie pokazać, że (a^{2} + b^{2})^{2} jest podzielne przez (a + b)^{2}
Otóż mamy:
(a^{2} +  b^{2})^{2} = ((a + b)^{2} - 2ab)^{2}
(a+b)^{2} jest podzielne przez a + b oraz ab podzielne przez a + b, wobec tego (a + b)^{2} - 2ab jest podzielne przez a + b, więc ((a + b)^{2} - 2ab)^{2} dzieli się bez reszty przez (a + b)^{2}.
Z powyższego wynika, że a^{4} + b^{4} jest podzielne przez (a + b)^{2}
c.t.b.w.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 29 gru 2006, o 12:28 
Użytkownik

Posty: 24
Lokalizacja: Nurzec Stacja
Dzięki przeogromne za pomoc!

Jakby ktoś jeszcze potrafił dać chcoiażby wskazówkę do pierwszego tu byłoby super...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 gru 2006, o 13:57 
Użytkownik

Posty: 103
Lokalizacja: Warszawa
Wskazówka:

3^{54}-3^{27}\cdot2^{12}+2^{24}=3^{54}-3^{27}\cdot2^{12}+2^{24}+
3\cdot3^{27}\cdot2^{12}-3\cdot3^{27}\cdot2^{12}

I wzory skróconego mnożenia.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 29 gru 2006, o 16:31 
Użytkownik

Posty: 24
Lokalizacja: Nurzec Stacja
No ok, wzory zastosować mogę, tylko skąd się wzięła ta druga część równania?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 gru 2006, o 16:43 
Administrator
Avatar użytkownika

Posty: 12708
Lokalizacja: Kraków
Ta druga część równania jest to po prostu rozszerzenie pierwszej części tego równania poprzez dodanie i odjęcie tego samego składnika 3 \cdot 3^{27}\cdot2^{12}
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 29 gru 2006, o 21:21 
Użytkownik

Posty: 24
Lokalizacja: Nurzec Stacja
To chyba logiczne, ale dlaczego taki a nie inny składnik?

A więc wygląda to tak


3^{54} - 3^{27} * 2^{12} + 2^{24} + 3 * 3^{27} * 2^{12} - 3 * 3^{27} * 2^{12} = (3^{27} + 2^{12})^{2} - 2^{12} * 3^{27} + (3^{14} + 2^{6})(3^{14} - 2^{6})

I co dalej?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 gru 2006, o 21:43 
Użytkownik

Posty: 103
Lokalizacja: Warszawa
3^{54}-3^{27}\cdot2^{12}+2^{24}+3\cdot3^{27}\cdot2^{12}-3\cdot3^{27}\cdot2^{12}=
(3^{27}+2^{12})^{2}-3^{28}\cdot2^{12}
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 30 gru 2006, o 11:53 
Użytkownik

Posty: 24
Lokalizacja: Nurzec Stacja
Oka, dzięki wielkie :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 gru 2006, o 12:12 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1307
Lokalizacja: Bełchatów
4.\frac{12*5^{2n+1} - 8*5^{2n} + 4*5^{2n-1}}{4*5^{2n-2}}=\frac{4 \cdot 5^{2n}(3 \cdot 5^1 -2  +5^{-1})}{4 \cdot 5^{2n} \cdot 5^{-2}}=\frac{15-2+\frac{1}{5}}{\frac{1}{25}}=(\frac{65}{5}+\frac{1}{5}) \cdot 25=330
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 30 gru 2006, o 20:40 
Gość Specjalny

Posty: 2826
Lokalizacja: Lublin/warszawa
Racja, już zauważyłam, gdzie był mój błąd. Zastosowałam nie ten wzór...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 gru 2006, o 20:42 
Gość Specjalny

Posty: 8603
Lokalizacja: Kraków
*Kasia, 3 \cdot 3^{27} = 3^{28}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 14 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 udowodnij że liczba  Zen  1
 udowodnij, że kwadrat liczby całkowitej, dającej w dzieleniu  mrsgrucha  1
 Zapisz w postaci ogólnej i udowodnij dwie podzielności.  karusia1234  1
 Udowodnij niepodzielność przez 3  Snick1  3
 udowodnij twierdzenie - zadanie 32  natalka92  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl