szukanie zaawansowane
 [ Posty: 12 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
 Tytuł: zadania
PostNapisane: 29 gru 2006, o 12:27 
Użytkownik

Posty: 11
Lokalizacja: krakow
mam kilka zadan i nie do konca wiem jak je zrobic.... oto one:
1. W trapez o ramionach dlugosci a i b wpisano okrag o promieniu dlugosci r. Oblicz pole tego trapezu.
2. Znajdz cyfre jednosci liczby 2^{2003} + 4^{2003} + 8^{2003} + 16^{2003}. Odpowiedz uzasadnij.
3. Rozwiaz rownanie w liczbach calkowitych x^{2} + 2y^{2} = 3 + 3xy o niewiadomych x i y.
4. Wyznaczono dwuelementowe podzbiory zbioru {a.b.c.d} liczb rzeczywistych i zsumowano elementy tych podzbiorow. Otrzymano szesc sum, z ktorych najmniejesze sa: 1,5,8,9. Znajdz liczby a,b,c,d.
5. Oblicz najwiekszy wspolny dzielnik liczb: 2^{37} - 1 i 2^{19} - 1
6. Wykaz, ze jezeli dlugosci bokow prostokata i dlugosci jego przekatnych sa liczbami naturalnymi, to pole tego prostokata jest liczba naturalna podzielna przez 12.

Z gory dziekuje za pomoc :)
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: zadania
PostNapisane: 29 gru 2006, o 15:41 
Użytkownik

Posty: 3506
Lokalizacja: Brodnica
W trapez (jak i w każdy inny czworokąt) można wpisać okrąg jeśli sumy długości przeciwległych boków są sobie równe. Oznacza to, że suma długości podstaw trapezu jest równa a+b. Wysokość w tym trapezie zaś to h=2r. Wówczas pole:

P=(a+b)2r/2=(a+b)r

[ Dodano: 29 Grudzień 2006, 15:52 ]
2.
Cyframi jedności w kolejnych potęgach 2 są:
2^1=2 \\ 2^2=4 \\ 2^3=8 \\ 2^4=...6 \\ 2^5=...2 \\ 2^6=...4 \\ ...

Oznacza to, że cyfrą jedności w 2^2003 jest:
(2003/4=500 reszty 3)
trzecia cyfra z grupy powtarzających się cyfr jedności kolejnych potęg liczby dwa, czyli z grupy: 2, 4, 8, 6, tzn. 8.
Analogicznie pozostałe cyfry, wcześniej zapisując podstawy 4, 8, 16 jako potęgi dwójki.
By odczytać cyfrę jedności sumy tych potęg należy zsumować cyfry jedności poszczególnych potęg i wziąc z niej cyfrę jedności.[/b]
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: zadania
PostNapisane: 29 gru 2006, o 18:47 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 7136
Lokalizacja: Ruda Śląska
W skrócie w 2 można skorzystać z tego, że
2^4\equiv 6\pmod {10}\\2^{4n}\equiv 6^n\equiv 6\pmod {10}

w 6 jeżeli te odcinki mają mieć długość "naturalną" to te długości muszą tworzyć trójkę pitagorejską, więc wystarczy udowodnić, że iloczyn 2 mniejszych liczb z tej trójki jest podzielny przez 12
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: zadania
PostNapisane: 29 gru 2006, o 20:56 
Użytkownik

Posty: 63
Lokalizacja: Kraków
3.
x^{2}+2y^{2}=3+3xy\\
x^{2}+2y^{2}-2xy-xy=3\\
x(x-y)-2y(x-y)=3\\
(x-2y)(x-y)=3
czyli mozna zapic 3 w postaci iloczynu 2 liczb calkowitych, czyli pary tych licz to 1,3 i 3,1 i -1,-3 i -3,-1 czyli tworzysz 4 uklady rownan, (oto jeden z nich) i rozwiazujesz:
\left\{\begin{array}{l}1=x-2y\\3=x-y\end{array}
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: zadania
PostNapisane: 29 gru 2006, o 21:00 
Użytkownik

Posty: 3506
Lokalizacja: Brodnica
3.
x^2+2y^2=3+3xy \\ x^2-2xy+y^2=3+xy-y^2 \\ (x-y)^2=3+y(x-y) \\ (x-y)^2-y(x-y)=3 \\ (x-y)(x-y-y)=3 \\ (x-y)(x-2y)=3

Ponieważ:
3=1\cdot 3 \vee 3=(-1)\cdot (-3)

więc:

\left\{\begin{array}{l}x-y=1\\x-2y=3\end{array} \vee \left\{\begin{array}{l}x-y=-1\\x-2y=-3\end{array} \vee \left\{\begin{array}{l}x-y=3\\x-2y=1\end{array} \vee \left\{\begin{array}{l}x-y=-3\\x-2y=-1\end{array}

Rozwiązaniami zadania są więc rozwiązania powyższych układów.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: zadania
PostNapisane: 30 gru 2006, o 16:36 
Użytkownik

Posty: 11
Lokalizacja: krakow
dzieki. jak jeszcze ktos moglby zrobic 4 i 5, to bylbym wdzieczny...
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: zadania
PostNapisane: 30 gru 2006, o 19:05 
Użytkownik

Posty: 63
Lokalizacja: Kraków
5. 2^{19}-1 to liczba pierwsza, chyba sobie poradzisz dalej
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: zadania
PostNapisane: 30 gru 2006, o 19:08 
Użytkownik

Posty: 11
Lokalizacja: krakow
no. ale wyliczyles to jakos czy wiesz poprostu?? :)
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: zadania
PostNapisane: 30 gru 2006, o 19:12 
Gość Specjalny

Posty: 8603
Lokalizacja: Kraków
marcel, 2^{19}-1 to liczba pierwsza Mersenne'a.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: zadania
PostNapisane: 30 gru 2006, o 19:13 
Użytkownik

Posty: 11
Lokalizacja: krakow
a to zmienia postac rzeczy. dzieki, nie wiedzialem...
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: zadania
PostNapisane: 30 gru 2006, o 19:38 
Użytkownik

Posty: 63
Lokalizacja: Kraków
4. mozemy zalozyc bez straty ogolnosci ze:
a \leq b\leq c\leq d
i teraz sumujemy 2 najmniejsze elementy czyli:
a+b=1
teraz 2 najmniejsza para bedzie para a i c
a+c=5
teraz nie wiemy jaka bedzie 3 najmniejsza sama, wiec moze to byc a i d, lub c i b, czyli polecam rozwazyc 2 przypadki i rozwiazac 2 uklady rownan z 4 rownaniami, oczywiscie na koncu trzeba sprawdzic czy wszystko jest zgodnie z zalozeniami:
\left\{\begin{array}{l}a+b=1\\a+c=5\\a+d=8\\b+c=9\end{array}
\left\{\begin{array}{l}a=-1,5\\b=2,5\\c=6,5\\d=9,5\end{array}
i
\left\{\begin{array}{l}a+b=1\\a+c=5\\a+d=9\\b+c=8\end{array}
\left\{\begin{array}{l}a=-1\\b=2\\c=6\\d=10\end{array}
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: zadania
PostNapisane: 30 gru 2006, o 19:39 
Użytkownik

Posty: 11
Lokalizacja: krakow
dzieki
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 12 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 zadania  lukiii1987  1
 Zadania - zadanie 2  Huculka  4
 zadania - zadanie 3  nena  5
 Zadania - zadanie 4  von_artur  8
 zadania - zadanie 5  julia1022  10
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl