szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 kwi 2011, o 00:36 
Użytkownik

Posty: 93
Lokalizacja: Gorzów Wlkp.
Znaleźć wszystkie takie funkcje f(x):
f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\\
f(x)+f(x+1)=4x-4

nie wiem jak robić takie zadania :( wiem, że podany przykład jest prosty, bo w sumie sam go ułożyłem, robiąc to zadanie od tyłu, czyli najpierw sobie napisałem wzór funkcjif(x), a następnie zrobiłem równanie funkcyjne... ale niestety nie wiem jak to rozwiązać normalnie :|

powinno wyjść: f(x)=2x-3

drugi przykład:
f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\\
f(x)-f(x+1)=-2x-1\\
f(x)=x^2
drugi przykład również zrobiłem na opak :| ale nie potrafię do tego dojść, jak to się robi :( niby widzę różne zależności, ale nie jestem pewien, czy można wysuwać wnioski po takich spostrzeżeniach :|

jeżeli ktoś zna jakąś literaturę albo stronę internetową, gdzie jest trochę o równaniach funkcyjnych, to bardzo bym prosił o podzielenie się tą informacją : )
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 kwi 2011, o 06:47 
Użytkownik

Posty: 118
f(x)+f(x+1)=4x-4
f(x)=Ax+B
Ax + B + A(x+1) + B = 4x-4
Ax + B + Ax + A + B =4x-4
2Ax + A +2B = 4x-4
\begin{cases} 2A=4 \\ A+2B = -4 \end{cases}
\begin{cases} A=2 \\ B=-3 \end{cases}
f(x)=2x-3
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 kwi 2011, o 15:32 
Użytkownik

Posty: 93
Lokalizacja: Gorzów Wlkp.
dzięki :)
hmm... no właśnie tak też mi się wydawało. jedno co mnie trapi, to to, np. że nie wiem czy można uznać taki tok rozumowania:
f(x)+(f+1)=4x-4\\ f(0)+f(1)=-4\\f(1)+f(2)=0\\f(2)+f(3)=4 \\...\\ f(x)+f(x+1)=4x-4
suma tych dwóch funkcji jest postaci liniowej, więc funkcja również ma postać liniową f(x)=Ax+B

czy się mylę? :)
natomiast jeśli różnica byłaby liniowa, to funkcja byłaby postaci: f(x)=Ax^2+Bx+C, ponieważ to, czy dodamy do argumentu np. 1, czy też nie, nie wpłynie na krotność najwyższej potęgi:
f(x)-f(x+a)=g(x)\\f(x)=Ax^2+Bx+C\\f(x+a)=A(x+a)^2+B(x+a)+C\\f(x)-f(x+a)=Ax^2+Bx+C-A(x^2+2ax+a^2)-B(x+a)-C=-2Aax-Aa^2-Ba\\-Aa^2-Ba=t\\ f(x)-f(x+a)=-2Aax+t\\g(x)=-Aax+t\\cnd
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 kwi 2011, o 22:02 
Użytkownik

Posty: 118
Sproboj jeszcze ulozyc rownanie z innymi funkcjami, moze jakis wielomian stopnia 3.
Wtedy zweryfikuje sie czy to dziala :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 kwi 2011, o 00:26 
Użytkownik

Posty: 93
Lokalizacja: Gorzów Wlkp.
: ) działa:
f(x)=Ax^3+Bx^2+Cx+D\\g(x)=f(x)-f(x+a)\\f(x)-f(x+a)=Ax^3+Bx^2+Cx+D-(A(x+a)^3+B(x+a)^2+C(x+a)+D)=\\
=Ax^3+Bx^2+Cx+D-A(x^3+3x^2a+3xa^2+a^3)-B(x^2+2ax+a^2)-Cx-Ca-D=Ax^3+Bx^2+Cx+D-Ax^3-3Aax^2-3Aa^2x-Aa^3-Bx^2-2Bax-Ba^2-Cx-Ca-D=-3Aax^2-3Aa^2x-2Bax-Aa^3-Ba^2-Ca\\
 k=-3Aa\\  m=-3Aa^2-2Ba\\l=-Aa^3-Ba^2-Ca\\
g(x)=-3Aax^2-3Aa^2x-2Bax+l=-3Aax^2+(-3Aa^2-2Ba)x+l\\
g(x)=kx^2+mx+l

:)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 kwi 2011, o 06:19 
Użytkownik

Posty: 118
Spróbuj z tym :)
f(x)+f(x+1)+f(x+2)=6x^2+1
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 kwi 2011, o 22:42 
Użytkownik

Posty: 93
Lokalizacja: Gorzów Wlkp.
g(x)=f(x)+f(x+1)+f(x+2)=6x^2+1\\
f(x)=ax^2+bx+c\\
g(x)=ax^2+bx+c+a(x+1)^2+b(x+1)+c+a(x+2)^2+b(x+2)+c=\\
=ax^2+bx+c+ax^2+2ax+a+bx+b+c+ax^2+4ax+4a+bx+2b+c=\\
=3ax^2+6ax+3bx+a+2b+3c=\\
=3ax^2+(6a+3b)x+(a+2b+3c)\\
 \begin{cases} 3a=6\\6a+3b=0\\a+2b+3c=1 \end{cases}\\
\begin{cases} a=2\\b=-4\\2-8+3c=1 \end{cases}\\
\begin{cases} a=2\\b=-4\\c= \frac{7}{3}  \end{cases}\\
f(x)=2x^2-4x+\frac{7}{3}
? :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 kwi 2011, o 22:59 
Użytkownik

Posty: 569
Lokalizacja: BK
Dla wielomianów może i takie rozumowanie jest poprawne bo degW(x)=deg(x-a) oraz jeślidegA(x)=degB(x)=n to deg(A(x)+B(x))=n. Ale żeby to uogólnić na dowolne funkcje to mam wątpliwości...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 kwi 2011, o 23:21 
Użytkownik

Posty: 5105
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
pawelsuz napisał(a):
degW(x)=deg(x-a)


Miało być chyba degW(x)=deg W(x-a).

pawelsuz napisał(a):
oraz jeślidegA(x)=degB(x)=n to deg(A(x)+B(x))=n.


A to nieprawda.

-- 7 kwi 2011, o 00:57 --

Na pewno będzie więcej rozwiązań.

Na przykład możecie wziąć wasze powyższe rozwiązanie dla liczb niecałkowitych, a na liczbach całkowitych położyć

f(n)=c\cdot(-1)^n+2n-3,

gdzie c jest dowolną stałą. Można też zmodyfikować funkcję na innych podzbiorach typu

\{x+n:n\in\mathbb{Z}\},

dla różnych x. Zatem funkcji takich będzie nieskończenie wiele. Można nawet tak dobrać stałe c dla poszczególnych x-ów, aby otrzymać nieskończenie wiele funkcji ciągłych (a nawet różniczkowalnych) spełniających równanie.

-- 7 kwi 2011, o 01:04 --

Żeby nie być gołosłownym,

f(x)=\sin(\pi x)+2x -3.

Dobranoc wszystkim.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 kwi 2011, o 22:37 
Użytkownik

Posty: 569
Lokalizacja: BK
oczywiście miało być degW(x-a), A co do drugiego to racja, poprawnie jest degA(x)=degB(x)=n \Rightarrow deg(A(x)+B(x)) \le n
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Równanie funkcyjne - zadanie 2  przemk20  6
 równanie funkcyjne - zadanie 4  MatizMac  6
 Równanie funkcyjne - zadanie 8  patry93  5
 Równanie funkcyjne - zadanie 9  rectussss  5
 równanie funkcyjne - zadanie 13  binaj  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl