szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 kwi 2011, o 15:28 
Użytkownik

Posty: 110
Lokalizacja: Jasło
Witam, prosiłbym o pomoc z następującym zadankiem:


Wykaż, że liczba 291 ^{8} +3 \cdot 291 ^{4} -4 jest podzielna przez 200
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 kwi 2011, o 15:34 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2909
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Zauważ, że:

291^8 \equiv 91^8 \equiv 8281^4 \equiv 81^4 \equiv 6561^2 \equiv (-39)^2 \equiv 1521 \equiv 121 (mod \ 200)

oraz:

291^4 \equiv 91^4 \equiv 8281^2 \equiv 81^2 \equiv 6561 \equiv 161 (mod \ 200)  \Leftrightarrow 3\cdot 291^4 \equiv 483 \equiv 83 (mod \ 200)

Czyli:

291^8+3\cdot 291^4 - 4 \equiv 121+83-4 \equiv 200 \equiv 0 (mod \ 200)

cnd.

Pozdrawiam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 kwi 2011, o 16:04 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 775
Lokalizacja: Biała Podlaska / MIMUW
Pokażę jak na mój gust prostsze rozwiązanie(przynajmniej pod względem rachunkowym):

niech t=291^4

Mamy wtedy:

t^2+3t-4=(t+4)(t-1)

czyli dalej:

(291^4+4)(291^4-1)=(291^4+4)(291^2+1)(291+1)(291-1)=
(291^4+4)(291^2+1) \cdot 292 \cdot 290=5k \cdot 2l \cdot 2 \cdot 196 \cdot 10 \cdot 29=200kl \cdot 196 \cdot 29

291^4+4=5k - bo 291^4 kończy się cyfrą 1, a jak dodamy 4 to będzie 5 ;)
291^2+1=2l, bo 291^2 - nieparzyste
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 wrz 2011, o 09:00 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: Krakow
Może jakiś inny sposób bo indukcji jeszcze nie brałem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 wrz 2011, o 16:12 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 775
Lokalizacja: Biała Podlaska / MIMUW
A gdzie tu widzisz indukcję?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Podzielność przez 16  Stopper  1
 Podzielność przez 8  Wave  4
 podzielność liczby przez 3  patrycja1992  5
 Dowody I LO - podzielność przez 6  webwebweb  3
 Udowodnić podzielność - zadanie 2  RyHoO16  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl