szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 kwi 2011, o 23:03 
Gość Specjalny

Posty: 168
Lokalizacja: Forum Matematyka.pl
Niech g_n oznacza liczbę takich podzbiorów zbioru \{1,2,...,n\}, które nie zawierają żadnych dwu kolejnych liczb naturalnych. Na przykład g_3 = 5, gdyż zbiorami o żądanej własnosci sa zbiór pusty, zbiory jednoelementowe oraz \{1,3\}. Sprawdzić, czy prawdziwa jest tożsamość:
g_n=2^n-\sum_{k=2}^{n/2} \left[ (n-k+1)g_{n-k-2}+2g_{n-k-1} \right]

jeżeli przyjmiemy, że n jest liczbą parzystą większą lub równą 4.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 kwi 2011, o 23:42 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Nie zgadza się już dla n=4: wówczas lewa strona jest równa osiem, a prawa dziewięć.

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 kwi 2011, o 23:48 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 68
Lokalizacja: Zabrze
Zauważmy, że zachodzi tożsamość g_{n+1}=g_{n}+g_{n-1}, gdzie przyjmujemy g_0=1 (odpowiadające liczbie podzbiorów zbioru pustego), ponieważ możemy wziąć największą liczbę ze zbioru liczb od 1 do (n+1), a reszta jest podzbiorem spełniającym warunki zadania liczb od 1 do (n-1) lub też nie brać (n+1) elementu, czyli wybrać podzbiór dobry zbioru od 1 do n. Biorąc pod uwagę g_{0}=1 i g_{1}=2 dostajemy, że ciąg g jest ciągiem Fibonacciego przesuniętym o jeden wyraz. Korzystając ze wzorów na sumę ciągów F_n i nF_{n} zauważamy, że ta tożsamość nie ma prawa się zwijać do tego, czego chcemy (;p), więc szukamy kontrprzykładu i znajdujemy, np. n=4.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 kwi 2011, o 10:58 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 6392
Lokalizacja: Warszawa
Rzeczywiście coś jest nie tak z tym zadaniem i nie widzę sposobu, żeby go uratować.
i Damianito - jeśli się zgodzicie, dziś wieczór możemy dać zadanie zastępcze, a to uznamy za nieważne.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 kwi 2011, o 23:02 
Gość Specjalny

Posty: 168
Lokalizacja: Forum Matematyka.pl
Nowe zadanie

Dany jest pewien czworościan c, na którym opisano sferę s. \alpha, \beta, \gamma, \delta są płaszczyznami stycznymi do tejże s, w odpowiednich wierzchołkach c , tj punktach A, B, C, D, przy czym \alpha \cap \beta=p, i \gamma \cap \delta=q. Wykaż, że jeśli proste p i CD nie są rozłączne, to q i AB są współpłaszczyznowe.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 kwi 2011, o 23:32 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1878
Lokalizacja: Warszawa
Jest to przestrzenny odpowiednik twierdzenia o wzajemności biegunowych.
Ja na to popatrzyłem pod takim kątem. Zdefiniujmy sobie dla sfery i punktu analogiczny odpowiednik biegunowej z płaszczyzny (będzie to oczywiście płaszczyzna) w taki sposób, że będzie to suma wszystkich biegunowych tego punktu względem okręgów będących przekrojem tej sfery, których przedłużenie średnicy zawiera ten punkt. Teraz to, że p i CD nie są rozłączne mówi, że istnieje taki punkt E, że A i B leżą na biegunowej E względem sfery s, oraz E, C, D są współliniowe. Zauważmy, że skoro E, C, D są współliniowe, to przecięcie płaszczyzn stycznych do s w punktach C i D będzie to prosta równoległa do biegunowej E względem s. Niech O oznacza środek sfery s i niech r to będzie okrąg będący przecięciem DEO ze sferą s. Niech teraz F i G będą to punkty r nalężące do biegunowej E względem s. Z twierdzenia o wzajemności biegunowych na płaszczyźnie DEO wynika, że FG (biegunowa E względem r) oraz proste poprowadzone z punktów C i D, styczne do r (w płaszczyźnie DEO) przetną się w 1 punkcie, a FG leży w biegunowej E względem S, zatem przecięcie płaszczyzn stycznych do s w C i D zawiera 1 punkt należący do biegunowej E względem s, zatem zawiera się ono całe w tej płaszczyźnie, czyli zarówno AB, jak i to przecięcie należą do tej płaszczyzny.
c.b.d.u.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Problem Tygodnia #5  Liga  2
 Problem Tygodnia #4  Liga  1
 Problem Tygodnia #7  Liga  2
 Problem Tygodnia - zasady  Liga  0
 Problem Tygodnia #6  Liga  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl