szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 kwi 2011, o 03:45 
Użytkownik

Posty: 93
Lokalizacja: Gorzów Wlkp.
Nie wiedziałem do końca gdzie to umieścić, więc umieściłem to tutaj :)
A oto treść zadanka:
W trójkąty równoboczne, wpisano nieskończoną liczbę kół, w taki sposób jak pokazuje to rysunek:
Obrazek
bok trójkąta początkowego wynosi a. Oblicz jakie pole zostanie niewypełnione.
h= \frac{a \sqrt{3} }{2}\\
r=\frac{1}{3}h\\
r=\frac{a \sqrt{3}}{6}\\
P_{1}=\left(\frac{a \sqrt{3}}{6}\right)^2 \pi\\
P_{1}=\frac{1}{12}a^2 \pi\\
h_2=\frac{1}{3}h\\
r_2=\frac{1}{3}h_2=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}h=\frac{1}{9} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{6}=\frac{a \sqrt{3}}{9 \cdot 6}\\
P_{2}=\left(\frac{a \sqrt{3}}{9 \cdot 6}\right)^2 \pi\\
P_{2}=\frac{1}{27 \cdot 36}a^2 \pi=\left(\frac{1}{3}\right)^3\cdot \frac{a^2 \pi}{36}\\
r_3=\frac{1}{27}h=\frac{a\sqrt{3}}{27 \cdot 6}\\
P_3=\left(\frac{a\sqrt{3}}{27 \cdot 6}\right)^2\pi\\
P_3=\left(\frac{1}{3}\right)^5\cdot \frac{a^2 \pi}{36}\\
Można zauważyć, iż pola kół - 3 mniejsze, 9 jeszcze mniejszych, itd. (bez pierwszego) tworzą ciąg geometryczny o ilorazie q:
a_1=3\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^3\cdot \frac{a^2 \pi}{36}=a_1=\left(\frac{1}{3}\right)^2\cdot \frac{a^2 \pi}{36}\\
a_2=9\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^5\cdot \frac{a^2 \pi}{36}=\left(\frac{1}{3}\right)^3\cdot \frac{a^2 \pi}{36}\\
q=\frac{1}{3}\\
a_n=\left(\frac{1}{3}\right)^{n+1} \cdot \frac{a^2 \pi}{36}\\
S_n=a_1\cdot\frac{1-q^{n-1}}{1-q}}=\left(\frac{1}{3}\right)^2\cdot \frac{a^2 \pi}{36}\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}}{1-\frac{1}{3}}}=\\
=\frac{1}{9}\cdot \frac{a^2 \pi}{36}\cdot\frac{1-3\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{n}}{\frac{2}{3}}}=\frac{1}{9}\cdot \frac{a^2 \pi}{36}\cdot \frac{3}{2}\cdot\left(1-3\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{n}\right)=\\
=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2 \pi}{36}\cdot \frac{1}{2}\cdot3\cdot\left(\frac{1}{3}-\left(\frac{1}{3}\right)^{n}\right)=\\ 
=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2 \pi}{12}\cdot \frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{3}-\left(\frac{1}{3}\right)^{n}\right)=\frac{a^2\pi}{72}\left(\frac{1}{3}-\left(\frac{1}{3}\right)^{n}\right)\\
S_n=\frac{a^2\pi}{72}\left(\frac{1}{3}-\left(\frac{1}{3}\right)^{n}\right)\\
P_z=P-\left(P_1+S_n\right)\\
S_n= \lim_{n \to \infty}\left(\frac{a^2\pi}{72}\left(\frac{1}{3}-\left(\frac{1}{3}\right)^{n}\right)\right)=\frac{a^2\pi}{216}\\
P_z=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}-\frac{a^2\pi}{12}-\frac{a^2\pi}{216}=\frac{54a^2\sqrt{3}-18a^2\pi-a^2\pi}{216}=\\
=\frac{a^2\left(54\sqrt{3}-19\pi\right)}{216}\\
P_z=\frac{a^2\left(54\sqrt{3}-19\pi\right)}{216}\\

dobrze? czy jest błąd? :(
w sumie sam zadanko wymyśliłem, choć zapewne nie ja pierwszy wpadłem na pomysł obliczenia czegoś takiego ;) :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 kwi 2011, o 09:30 
Użytkownik

Posty: 4612
Lokalizacja: Racibórz
Sposób rozwiązania z pewnością dobry (rachunki chyba też, ale te sprawdzałem tylko pobieżnie). Obliczenia sumy pól kół można znacznie uprościć, bo przecież dla q<1 mamy:

S_{n}= \frac{a_{1}}{1-q} =\left(\frac{1}{3}\right)^2\cdot \frac{a^2 \pi}{36} \cdot  \frac{3}{2} =\frac{a^2\pi}{216}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 kwi 2011, o 14:37 
Użytkownik

Posty: 93
Lokalizacja: Gorzów Wlkp.
no to prawda :) nie wiedziałem o tym ;)

literówka jest w Twoim poście - "Obliczenia sumy pól >trójkątów<", powinno być "kół" :)

Edit:
choć w sumie jak teraz na to patrzę, to dość logiczne :P
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 kwi 2011, o 15:20 
Użytkownik

Posty: 4612
Lokalizacja: Racibórz
Oczywiście, że chodzi o pola kół. Zaraz poprawię.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 kwi 2011, o 00:30 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Polska
sprawdź _{} r_2
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 kwi 2011, o 00:22 
Użytkownik

Posty: 93
Lokalizacja: Gorzów Wlkp.
ok :) dzięki ;)
znalazłem błąd. źle podstawiłem h, ponieważ zamiast:
h= \frac{a \sqrt{3} }{2}\\ r=\frac{1}{3}h\\ r=\frac{a \sqrt{3}}{6}\\ P_{1}=\left(\frac{a \sqrt{3}}{6}\right)^2 \pi\\ P_{1}=\frac{1}{12}a^2 \pi\\ h_2=\frac{1}{3}h\\ r_2=\frac{1}{3}h_2=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}h=\frac{1}{9} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{6}=\frac{a \sqrt{3}}{9 \cdot 6}\\ P_{2}=\left(\frac{a \sqrt{3}}{9 \cdot 6}\right)^2 \pi\\ P_{2}=\frac{1}{27 \cdot 36}a^2 \pi=\left(\frac{1}{3}\right)^3\cdot \frac{a^2 \pi}{36}\\
powinno być:
r_2=\frac{1}{3}h_2=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}h=\frac{1}{9} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{\mathbf{2}}=\frac{a \sqrt{3}}{9 \cdot \mathbf{2}}\\ P_{2}=\left(\frac{a \sqrt{3}}{9 \cdot \mathbf{2}}\right)^2 \pi\\ P_{2}=\frac{1}{27 \cdot \mathbf{4}}a^2 \pi=\left(\frac{1}{3}\right)^3\cdot \frac{a^2 \pi}{\mathbf{4}}\\
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Trójkąt równoboczny i okrąg  David Soldier  3
 Trójkąt równoramienny nr 2  Mastaa  2
 Trójkąt prostokątny. Na przedłuzeniu...  Kaka1210  9
 trójkąt równoramienny - zadanie 5  Marie  1
 trójkąt i środki okręgów  platynamen  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl