szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 kwi 2011, o 12:35 
Użytkownik

Posty: 115
Lokalizacja: Zamość
Trójkąt równoboczny KLM ma bok długości 2 (patrz rysunek). Oblicz pole kwadratu ABCD.

Obrazek

Oznacze sobie O jako punkt przecięcia przekątnych.
\Delta OML \sim \Delta OAB
Stosunek wysokosci OML do sumy wysokosci OML i MLK ma się jak ML do AB, stąd pole wynosi 8(2+\sqrt{3})

Proszę o potwierdzenie, nie mam niestety odpowiedzi do tego zadania.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 26 kwi 2011, o 12:45 
Użytkownik

Posty: 154
Lokalizacja: Łódź
Jak najbardziej masz rację
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 kwi 2011, o 13:31 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 2059
Lokalizacja: Zamość
Na potwierdzenie podam moje obliczenia:
Długość boku trójkąta KLM: |ML|=|KL|=|MK|=a=2.
Długość boku kwadratu ABCD: |AB|=|BC|=|CD|=|DA|=b.

Z tw. Talesa mamy:

\frac{|OM|}{|OA|}=\frac{|ML|}{|AB|}.

Wysokość h_1 trójkąta KLM (liczona z tw. Pitagorasa):

h_1=\frac{a\sqrt{3}}{2}.

Wysokość h_2 trójkąta MLO:

h_2^2=|OM|^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2.

Z trójkąta AKO mamy:

\left(h_1+h_2\right)^2+|AK|^2=|OA|^2,

|OA|=|OM|+|MA|.

Skoro h_1+h_2=\frac{b}{2}, zatem |OA| jest przekątna kwadratu AKOE, (E jest punktem leżącym na środku |DA|) i

|OA|=\frac{b\sqrt{2}}{2}

Z wcześniejszej zależności (tw. Talesa) wyznaczamy |OM|:

|OM|=\frac{|ML|}{|AB|}|OA|\\
|OM|=\frac{a\sqrt{2}}{2}

Teraz h_2^2=\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2.

Stąd: h_2=\frac{a}{2}.

Ostatecznie więc mamy:

h_1+h_2=\frac{b}{2},

i stąd bok kwadratu ABCD wynosi:

b=a\left(\sqrt{3}+1\right).

Pole kwadratu ABCD jest równe:

P_{ABCD}=b^2=2a^2\left(2+\sqrt{3}\right)=8\left(2+\sqrt{3}\right)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 trójkąt prostokątny - zadanie 13  Vixy  8
 trójkąt i trapez - zadanie 3  1magdzia1  2
 Zadanie trojkat rownoboczny  zyga33  2
 trójkąt prostokątny i okrąg - zadanie 2  kaszubki  9
 trojkat wpisany w trojkat  wirus1910  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl