szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 kwi 2011, o 16:32 
Użytkownik

Posty: 121
Lokalizacja: nie mam pojęcia:)
Może nie podzieloność do końca lecz mam takie zadanie:

Dla jakich n cyfra jedności wynosi 5 dla wyrażenia 4 ^{n}+7 ^{n}.

Wypisałem sobie pary liczb i myślę nad użyciem mod 10 ale nie wychodzi mi coś.

Proszę o napisanie rozwiązania.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 kwi 2011, o 16:37 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2344
Lokalizacja: Katowice
Jeśli kongruencja nie wypaliła, zaobserwuj, jakie są ostatnie cyfry poszczególnych potęg. Są one w pewnym logicznym porządku:

4^1 = \underline{4} \\ 4^2 = 1\underline{6} \\ 4^3 = 6\underline{4} \\ 4^4 = 25\underline{6}\\ \ldots

Analogicznie dla 7^n. Dalej chyba sobie poradzisz :).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 kwi 2011, o 16:41 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2909
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Zauważ, że:

\begin{cases} 4^{2k} \equiv 6 (mod \ 10)\\ 4^{2k+1} \equiv 4 (mod \ 10) \end{cases}

oraz

\begin{cases} 7^{4k} \equiv 1 (mod 10)\\ 7^{4k+1} \equiv 7 (mod \ 10)\\ 7^{4k+2} \equiv (-1) (mod \ 10) \\ 7^{4k+3} \equiv 3 (mod \ 10) \end{cases}

Stąd wynika, że ostatnią cyfrą danego wyrażenia jest 5 jedynie dla n=4k+2 gdzie k jest dowolną liczbą naturalną.

Pozdrawiam.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 ostatnia cyfra liczby;  krzysiu184  3
 dla jakich liczb naturalnych  ala1609  10
 Ostatnia cyfra danej liczby  Bartek1991  2
 Wykaż, że ostatnią cyfrą liczby jest 0  woj15tek  1
 Jaka cyfra występuje na miejscu dziesiątek?  222333  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl