szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 kwi 2011, o 15:16 
Użytkownik

Posty: 716
Najpierw definicje na których się opieram:

X \subset \mathbb{R} \wedge Y \subset \mathbb{R} \wedge f:X \rightarrow Y- funkcja

f:X \rightarrow Y jest rosnąca w A \subset X \Leftrightarrow \forall x_{1}\in A\forall x_{2}\in A[x_{1}<x_{2} \Rightarrow f(x_{1})<f(x_{2})]

f:X \rightarrow Y jest malejąca w A \subset X \Leftrightarrow \forall x_{1}\in A\forall x_{2}\in A[x_{1}<x_{2} \Rightarrow f(x_{1})>f(x_{2})]

f:X \rightarrow Y jest niemalejąca w A \subset X \Leftrightarrow \forall x_{1}\in A\forall x_{2}\in A[x_{1}<x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) \le f(x_{2})]

f:X \rightarrow Y jest nierosnąca w A \subset X \Leftrightarrow \forall x_{1}\in A\forall x_{2}\in A[x_{1}<x_{2} \Rightarrow f(x_{1})  \ge  f(x_{2})]

f:X \rightarrow Y jest stała w A \subset X \Leftrightarrow \forall x_{1}\in A\forall x_{2}\in A [f(x_{1})  =  f(x_{2})]

Oczywiście funkcja f jest stała na danym zbiorze\Leftrightarrow jest na nim niemalejąca i nierosnąca

I teraz konkretny przykład:

(X = \left\{1}\right\} \wedge Y=\left\{1}\right\}) \Rightarrow X \times Y = 
\left\{ (1,1)} \right\}

f = X \times Y = \left\{ (1,1)} \right\} (relacja ta jest oczywiście funkcją)

Funkcja ta jest rosnąca w zbiorze X, bo warunek \forall x_{1}\in X \forall x_{2}\in X[x_{1}<x_{2} \Rightarrow f(x_{1})<f(x_{2})] jest spełniony

Funkcja ta jest malejąca w zbiorze X, bo warunek \forall x_{1}\in X \forall x_{2}\in X[x_{1}<x_{2} \Rightarrow f(x_{1})>f(x_{2})] jest spełniony

Ponadto prawdziwe są wynikania:

(funkcja f jest rosnąca w danym podzbiorze dziedziny) \Rightarrow (ta funkcja jest niemalejąca w tym podzbiorze)
(funkcja f jest malejąca w danym podzbiorze dziedziny)\Rightarrow (ta funkcja jest nierosnąca w tym podzbiorze)

Zatem na mocy tego funkcja z przykładu jest stała (jest jednocześnie niemalejąca i nierosnąca).

Podsumowując:

f = \left\{ (1,1)} \right\} jest jednocześnie rosnąca, malejąca i stała.
Z drugiej strony mamy funkcje, które nie mogą być jednocześnie malejące i rosnące (nawet wg tego rozumowania) na tym samym zbiorze. Paradoks? A może po prostu wykluczanie/niewykluczanie się warunków zależy od samej funkcji?

Jeśli jest błąd w moim rozumowaniu, to w którym miejscu. Czy może ktoś się na ten temat wypowiedzieć?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 kwi 2011, o 16:02 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4350
Lokalizacja: Nowa Ruda
Niemalejąca to nie znaczy rosnąca. Funkcja stała nie maleje ani nie rośnie, więc wszystko się zgadza.
Natomiast jak widzisz wynikanie jest w jedną stronę tzn. Jeśli jest rosnąca, to jest niemalejąca.
Co nie oznacza, że jeśli jest niemalejąca, to jest rosnąca.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 kwi 2011, o 16:30 
Użytkownik

Posty: 716
pyzol napisał(a):
Niemalejąca to nie znaczy rosnąca. Funkcja stała nie maleje ani nie rośnie, więc wszystko się zgadza.
Natomiast jak widzisz wynikanie jest w jedną stronę tzn. Jeśli jest rosnąca, to jest niemalejąca.
Co nie oznacza, że jeśli jest niemalejąca, to jest rosnąca.


Wiem, że zdania "funkcja rosnąca jest niemalejąca" oraz "funkcja niemalejąca jest rosnąca" nie są równoważne - sam zresztą napisałem to z użyciem funktora implikacji, a nie równoważności.

Natomiast z rozumowania, które przeprowadziłem (być może jest ono błędne) "wyszło" mi dla tej konkretnie funkcji (nie dla dowolnej!), że funkcja z tego przykładu jest jednocześnie malejąca i rosnąca i stała; stąd właśnie moje pytanie. Gdzie tkwi błąd w tym rozumowaniu jeśli taki istnieje?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 kwi 2011, o 18:13 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4350
Lokalizacja: Nowa Ruda
No to tu nie ma żadnego błędu. Specyficzny przypadek, w którym te warunki się nie wykluczają.
ps. Nie ma sensu cytować w całości czegoś co jest wyżej. :wink:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 kwi 2011, o 18:27 
Użytkownik

Posty: 716
pyzol napisał(a):
No to tu nie ma żadnego błędu. Specyficzny przypadek, w którym te warunki się nie wykluczają.
ps. Nie ma sensu cytować w całości czegoś co jest wyżej. :wink:


To dziękuję w takim razie za potwierdzenie. Pozdrawiam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 kwi 2011, o 19:05 
Administrator

Posty: 21365
Lokalizacja: Wrocław
Ja bym raczej powiedział, że to przypadek, w którym rozważane definicje nie mają praktycznego sensu (a tylko formalny). Warunki bycia funkcją rosnącą (malejąca, stałą) są spełnione pusto, bo poprzednik w definicji zawsze jest fałszywy.

W podobny sposób można rozważać zbiór pusty jako podzbiór zbioru liczb naturalnych i zastanawiać się, czy paradoksem jest, że każdy jego element jest zarówno liczbą parzystą, jak i nieparzystą.

JK
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zbiór wartości funkcji  the moon  1
 Wykresy funkcji, srodek odcinka  1exam  4
 Dowód funkcji monotonicznej ujemnej  Anonymous  3
 Składanie i parzystość funkcji-2 zadania.  qkiz  1
 Zbadac parzystosc i nieparzystosc funkcji  pangucio  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl