szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 maja 2011, o 17:58 
Użytkownik

Posty: 66
Lokalizacja: Kraków
Witam, czy może mi ktoś pomóc rozwiązać to zadanie....

Wiedząc, że:
n ≡ 8 (mod 11), 
n ≡ 3 (mod 13)
proszę znaleźć n mod 143. Czy n mod 143 jest wyznaczone jednoznacznie?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 maja 2011, o 18:19 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2910
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
\begin{cases} n \equiv 8 (mod \ 11) \\ n \equiv 3 (mod \ 13) \end{cases}

Tutaj albo korzystamy z Chińskiego Twierdzenia o resztach, albo po prostu podstawiamy, z 1 równania mamy n=11a+8 wstawiając do 2 mamy:

11a+8 \equiv 3 (mod \ 13)

11a \equiv 8 (mod \ 13) /\cdot 6

a \equiv 9 (mod \ 13)

a = 13b+9

Czyli n = 11(13b+9)+8 = 143b+107 czyli n \equiv 107 (mod \ 143)

Pozdrawiam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 maja 2011, o 18:35 
Użytkownik

Posty: 66
Lokalizacja: Kraków
Możesz mi pokazać skąd to się wzięło, tzn to przejście:

11a+8 \equiv 3 (mod \ 13)

11a \equiv 8 (mod \ 13) /\cdot 6
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 maja 2011, o 18:42 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2910
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
11a+8 \equiv 3 (mod \ 13)

Odejmuję obustronnie 8:

11a \equiv -5 (mod \ 13)

Teraz dodaję do prawej strony 13:

11a \equiv 8 (mod \ 13)

Teraz mnożę przez 6, ponieważ, zauważyłem, że po przemnożeniu przez 6 otrzymujemy:

66a \equiv 48 \equiv 9 (mod \ 13)

Ale: 66 = 13\cdot 5 + 1 czyli nasza kongruencja jest równoważna:

a\equiv 9 (mod \ 13)

Dalej wiadomo ;)

Pozdrawiam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 maja 2011, o 20:01 
Użytkownik

Posty: 66
Lokalizacja: Kraków
Za bardzo nie ogarniam tego, wykracza to poza moja możliwości. Znalazłem bardzo podobny przykład, ale są inne liczby, ale niestety nie wychodzi mi to dla tych...
http://iswiki.edu.pl/wiki/images/4/4d/M ... a_0036.jpg
w oparciu o książkę Matematyka Konkretna. Umiałbyś tym sposobem to rozwiązać?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 maja 2011, o 10:23 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2910
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Mamy:

\begin{cases} x \equiv 2 (mod \ 11)\\ x \equiv 10 (mod \ 13) \end{cases}

Z pierwszego wynika x = 11a+2 wstawiając do 2 otrzymujemy:

11a+2 \equiv 10 (mod \ 13) /-2

11a \equiv 8 (mod \ 13) /\cdot 6

a \equiv 48 \equiv 9 (mod \ 13)

a = 13b+9

x = 11(13b+9)+2 = 143b+101

Czyli x \equiv 101 (mod \ 143)

Pozdrawiam.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wyznacz liczby... - zadanie 2  kajtek182  2
 Wyznacz wszystkie liczby pierwsze - zadanie 4  NeonLight  1
 Wyznacz reszte z dzielenia liczby przez 2  katarzynkaaa90  1
 Wyznacz wartości parametru - zadanie 22  emussowa  1
 wyznacz reszte z dzielenia liczby x+y  raitoningu  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl