szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 7 maja 2011, o 00:37 
Użytkownik

Posty: 12
Lokalizacja: Węgrów
dla jakich wartości parametru k odległość między punktami przecięcia prostej x-y-k=0 i paraboli y=x ^{2} +2x-1 jest najmniejsza?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 maja 2011, o 09:57 
Moderator

Posty: 4439
Lokalizacja: Łódź
Wyznaczmy w zależności od wartości parametru k współrzędne punktów przecięcia paraboli i prostej. Mamy
\begin{cases} x-y-k=0 \\ y=x^2+2x-1 \end{cases}\iff\begin{cases} y=x-k \\ y=x^2+2x-1 \end{cases}\iff\begin{cases} y=x-k \\ x^2+x+k-1=0 \end{cases}.
Aby istniały dwa punkty przecięcia prostej i paraboli, równanie x^2+x+k-1=0 musi mieć dwa rozwiązania x_1, x_2 (choć dwóm różnym x-om może odpowiadać ten sam y), więc k\le\frac{5}{4}.
Z powyższego układu widzimy, że punkty przecięcia mają współrzędne postaci (x_1,x_1-k), (x_2,x_2-k).
Ze wzoru na odległość punktów na płaszczyźnie mamy \sqrt{(x_2-x_1)^2+[(x_2-k)-(x_1-k)]^2}=\sqrt{2(x_2-x_1)^2}=|x_2-x_1|\sqrt{2}, więc wystarczy dobrać k w ten sposób, by |x_2-x_1| miało możliwie najmniejszą wartość. Można założyć, że x_1<x_2 i wobec tego mamy x_1=\frac{-1-\sqrt{5-4k}}{2}, x_2=\frac{-1+\sqrt{5-4k}}{2}, więc |x_2-x_1|=\sqrt{5-4k}.
Łatwo widać, że rozwiązanie stanowi k=\frac{5}{4} (choć jest to przypadek niewłaściwy - mamy w istocie jeden punkt wspólny prostej i paraboli - obliczenia potwierdzi jednak rysunek wykonany w układzie współrzędnych).
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Punkt przecięcia funkcji  malyM9  5
 wyznaczyć parametr m  AndrzejK  21
 funkcja... własności, wykres, przekształcenia, parametr...  Kapitanada  1
 parametr, jeden punkt wspolny  Pumba  1
 Jak wyznaczyć punkty przeciecia wykresu z osiami układu  djmostek  6
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl