szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 maja 2011, o 23:18 
Gość Specjalny

Posty: 168
Lokalizacja: Forum Matematyka.pl
Czy można "pokolorować" wszystkie dodatnie liczby rzeczywiste dziesięcioma kolorami w ten sposób, aby pary liczb różniących się w swojej reprezentacji dziesiętnej na dokładnie jednym miejscu miały różne kolory?

ps. Nie bierzemy pod uwagę liczb, które od pewnego miejsca mają same dziewiątki, np. 0,(9).


Rozwiązania proszę przesyłać na Obrazek.

-- 16 maja 2011, 00:07 --

Oto nadesłane rozwiązanie:

marcin_smu napisał(a):
Podzielmy wszystkie rozpatrywane liczby na zbiory. Tak aby dwie liczby były w tym samym zbiorze wtedy i tylko wtedy gdy różnią się na skończenie wielu cyfrach po przecinku. Możemy tak zrobić ponieważ relacja ta jest przechodnia (jeśli a i b oraz b i c różnią się na skończenie wielu cyfrach to również w oczywisty sposób a i c różnią się na skończenie wielu cyfrach). Liczby należące do różnych zbiorów możemy kolorować niezależnie ponieważ każde dwie różnią się na więcej niż jednej cyfrze. Wystarczy więc udowodnić, że umiemy pokolorować jeden z takich zbiorów. Wybierzmy z niego jeden element nazwijmy go A, który pomalujemy dowolnym kolorem. Resztę liczb pomalujmy względem A tak, aby dla każdego B [suma po pozycjach, na których różnią się A i B(jest ich skończenie wiele) cyfra w A minus cyfra w B (na danej pozycji)] przystawała do [różnicy koloru A minus kolor B] modulo 10. Łatwo zauważyć, że tylko cyfry różnice się na co najmniej dwóch pozycjach mogą mieć ten sam kolor, więc kolorowanie spełnia warunki zadania.


marcin_smu - proszę podaj adres na który mamy wysłać nagrodę. Gratulacje!
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 lip 2012, o 01:55 
Użytkownik

Posty: 53
Lokalizacja: Skierniewice
Cytuj:
marcin_smu - proszę podaj adres na który mamy wysłać nagrodę. Gratulacje!
hmm... szybko się zorientowałem, że coś wygrałem xD
Piszę, bo wysłałem dziś ten adres na PW ligi, a pewnie od wieków tam nikt nie zagląda :P
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 lip 2012, o 11:01 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 6392
Lokalizacja: Warszawa
marcin_smu no nikt tam nie zaglada bo liga na razie nie dziala. A co do nagrody to nie pamietam nawet co wtedy bylo :P Wyslij mi dane to cos sie wymysli.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Problem Tygodnia #2  Liga  1
 Problem Tygodnia #3  Liga  5
 Problem Tygodnia - zasady  Liga  0
 Problem Tygodnia #7  Liga  2
 Problem Tygodnia #1  Liga  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl