szukanie zaawansowane
 [ Posty: 12 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 maja 2011, o 21:38 
Użytkownik

Posty: 140
Lokalizacja: RJS \ Krk
Może mi ktoś pomóc z dowodem tego wzoru?
10^n+4^n - 2 jest podzielny przez 6

wyciągnąłem 2 przed nawias i wyszedł mi taki wzór
2 \cdot (2^{n - 1} \cdot (5^n + 2^n) - 1) i nie wiem jak dalej udowodnić, że jest podzielny przez 3.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 maja 2011, o 21:50 
Gość Specjalny

Posty: 4094
Lokalizacja: Łódź
Ja bym proponował tak: 10^n+4^n-2=(10^n-1)+(4^n-1) i tu skorzystaj ze wzorów skróconego mnożenia, żeby pokazać, że ta liczba jest podzielna przez 3.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 maja 2011, o 21:52 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3454
Lokalizacja: Warszawa
Nie za bardzo potrafię dowodzić wzorów. Nie wiem też co oznacza, że wzór jest przez coś podzielny.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 maja 2011, o 22:00 
Użytkownik

Posty: 140
Lokalizacja: RJS \ Krk
Nie widzę tego, tak jak (4^n - 1) = (2^n - 1)(2^n + 1), tak nie mam pojęcia jaki wzór skróconego mnożenia użyć przy (10^n - 1), bo raczej (\sqrt{10^n} - 1)(\sqrt{10^n} + 1) nie będzie w żadnym stopniu przydatne.

-- 15 maja 2011, o 23:04 --

Chociaż czy można to opisać poprostu, że (10^n - 1) jest zawsze podzielne przez 3 a suma czegoś podzielnego przez 3 i czegoś podzielnego przez 3 daje sumę czegoś podzielnego przez 2 \cdot 3, czyli automatycznie podzielne przez 6?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 maja 2011, o 22:13 
Gość Specjalny

Posty: 4094
Lokalizacja: Łódź
MJay napisał(a):
a suma czegoś podzielnego przez 3 i czegoś podzielnego przez 3 daje sumę czegoś podzielnego przez 2 \cdot 3(...)?


Skąd niby taki wniosek? 3+6 dzieli się przez 6?

Możesz napisać najwyżej, że suma czegoś podzielnego przez 3 i czegoś podzielnego przez 3 daje coś podzielnego przez 3. Taki zapis się przyda pod warunkiem, że potrafisz udowodnić, iż 10^n-1 oraz 4^n-1 są podzielne przez 3.

Chodziło o ten wzór: a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+ab^{n-2}+b^{n-1}).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 maja 2011, o 22:20 
Użytkownik

Posty: 140
Lokalizacja: RJS \ Krk
Jestem zmęczony i nie mogę się wysłowić, chodziło mi, że czy jak udowodnię, że jeden i drugi nawias jest podzielny przez 3 to znaczy, że ten wzór jest podzielny przez 3, a drugi raz ten zwór udowodnię tak jak na początku myślałem, że jest podzielny przez dwa, to czy mogę wtedy stwierdzić, że jest podzielny przez 6?

BTW, twój sposób mi bardziej odpowiada, jednak jestem ciekawy odpowiedzi. Dzięki
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 maja 2011, o 22:25 
Gość Specjalny

Posty: 4094
Lokalizacja: Łódź
Odpowiedź na Twoje pytanie jest jak najbardziej twierdząca.

Nie ma problemu z osobnym udowadnianiem podzielności przez 2 i przez 3, bo 2 i 3 nie mają wspólnych dzielników.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 maja 2011, o 22:29 
Użytkownik

Posty: 140
Lokalizacja: RJS \ Krk
Ok. Super. Dzięki. Wcisnąłem już raz, że pomogłeś, to nie będę każdego posta oznaczał ;]
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 15 maja 2011, o 23:03 
Użytkownik

Posty: 16231
Nie prościej indukcyjnie?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 maja 2011, o 23:05 
Użytkownik

Posty: 1272
Lokalizacja: Warszawa
anna_, dokładnie o tym samym pomyślałem ;)
bo w sumie tutaj dużo kombinowania, a indukcyjnie od razu prawie..
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 maja 2011, o 23:18 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2909
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Osobiście indukcji w udowadnianiu podzielności nie lubię używać, jeżeli już to lepiej z kongruencji, zauważamy, że dla dowolnego naturalnego n zachodzi 4^n \equiv 4\pmod{6} skąd mamy:

10^n+4^n-2 \equiv 4^n+4^n-2 \equiv 8-2 \equiv 6 \equiv 0\pmod{6}

cnd.

Pozdrawiam.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 15 maja 2011, o 23:30 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 365
Lokalizacja: Kluczbork
Za pomocą zasady indukcji:

założenie:

10 ^{n}-4 ^{n}-2 =6k ,gdzie k jest liczbą całkowitą

teza:

10 ^{n+1}-4 ^{n+1} -2=6s, gdzie s jest liczbą całkowitą

dowód:

10 ^{n+1} -4 ^{n+1}-2=

=10 ^{n} \cdot 10-4 ^{n} \cdot 4 -2=

=10 ^{n}(9+1)-4 ^{n}(3+1) -2=

=10 ^{n} \cdot 9+10 ^{n} -4 ^{n}  \cdot 3-4 ^{n} -2=

=10 ^{n} \cdot 3-4 ^{n}  \cdot 3+(10 ^{n} -4 ^{n} -2)=

=3(10 ^{n}-4 ^{n} )+6k=

=3(5 ^{n}  \cdot 2 ^{n}-2 ^{n} \cdot 2 ^{n} )+6k=

=2 ^{n} \cdot 3(5 ^{n} -2 ^{n} )+6k=

=2 ^{n-1} \cdot 2 \cdot 3 \cdot (5 ^{n}-2 ^{n})+6k=

=6 \cdot 2 ^{n-1}(5 ^{n} -4 ^{n})+6k=

=6\left(2 ^{n-1} \cdot (5 ^{n} -2 ^{n} )+k)=6s
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 12 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (3 zadania) Wykaż, że liczby są podzielne przez ...  Anonymous  5
 Sprawdz czy liczba jest złożona  Anonymous  6
 (4 zadania) Sprawdz podzielność liczb przez 10  Anonymous  4
 Czy podana liczba jest różnicą kwadratów 2 liczb calko  pennywise  1
 Udowodnić, że liczba jest niewymierna - zadanie 4  Anonymous  11
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl