szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 maja 2011, o 12:39 
Gość Specjalny

Posty: 5019
Lokalizacja: Warszawa
Wyznacz zbiór wartości funkcji f(x)= \frac{2|x|-1}{|x|+1}.

Nie wiem jak taki zbiór wyznaczyć, choć zdaje mi się, że to będzie zbiór liczb rzeczywistych, ale jak to udowodnić?
Jednak nie, nie przyjmie wartości 2, skorzystałem z własności funkcji homograficznej, ale czy czegoś jeszcze nie przyjmie?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 maja 2011, o 12:56 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 194
Lokalizacja: Biała Podlaska
f(x)[|x|+1]=2|x|-1
f(x)|x| + f(x)=2|x|-1
|x|[f(x)-2]=-1-f(x)
|x|=\frac{f(x)+1}{2-f(x)} D: f(x) \neq 2
|x| \ge 0
dokoncz

Y \in <-1;2)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 maja 2011, o 13:09 
Gość Specjalny

Posty: 5019
Lokalizacja: Warszawa
O kurcze! Jeszcze nigdy tak nie robiłem, czy mógłbyś mi opisać tą metodę od początku do końca? Rozumiem, że pierwsza linijka to po prostu pomnożenie przez mianownik, ale następne skąd się biorą to już zielonego pojęcia nie mam.

Zrobiłem to zadanie rysując wykres, ale jeszcze chciałbym zobaczyć jak liczbowo to można zrobić.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 maja 2011, o 13:27 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2909
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Następne linijki otrzymujesz po wymnożeniu f(x) przez składniki w nawiasie, tutaj dążymy do przedstawienia naszej funkcji za pomocą |x|, a następnie korzystamy z tego, że wartość bezwzględna jest zawsze nieujemna. Można to zrobić również tak:

f(x) = \frac{2|x|-1}{|x|+1} = \frac{2(|x|+1)-3}{|x|+1} = 2-\frac{3}{|x|+1}

I stąd już mamy, że dana funkcja dąży do 2, najmniejszą wartość przyjmie dla największej wartości \frac{3}{|x|+1} oczywiście |x|+1 \ge 1, argument dla którego dane wyrażenie przyjmie największą wartość wystąpi przy równości, czyli |x|+1=1  \Leftrightarrow x=0, wówczas f(0) = 2-\frac{3}{1} = -1 stąd zbiorem wartości jest [-1 ; 2)

Pozdrawiam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 maja 2011, o 13:38 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 194
Lokalizacja: Biała Podlaska
Tak jak to Vax napisal , mnoze wyrazenia ze soba i przedstawiam |x| w zaleznosci od f(x). Lepiej widac jak za f(x) podstawisz f , a za |x| t.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 maja 2011, o 13:55 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Chyba prościej rozwiązać zadanie graficznie - wykres tej funkcji to wykres y=\frac{2x-1}{x+1} obcięty do x\ge 0 plus jego odbicie symetryczne względem osi OY. Stąd widać, że zbiór wartości to [f(0); 2).

Q.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zbiór wartości funkcji  the moon  1
 zbiór wartości funkcji - zadanie 5  julkaaa  6
 zbiór wartości funkcji - zadanie 6  danrok  15
 Zbior wartosci funkcji - zadanie 3  Jawana  3
 zbiór wartości funkcji - zadanie 13  sławek1988  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl