Strona główna Matematyka.pl » Matematyka - królowa nauk » Podstawy matematyki » Indukcja matematyczna

Dowód indukcyjny - zadanie 26

Strona 1 z 1

[ Posty: 9 ]

Autor

Wiadomość

Sirkami Offline

Tytuł: Dowód indukcyjny

Napisane: 3 cze 2011, o 15:34

Posty: 64
Lokalizacja: Berlin

Ostatnio mam sporo czasu i postanowiłem pojąć indukcje (w szkole nie uczyli) no i wszystko szło pięknie (umiem już udowodnić trochę bardziej skomplikowane równości) dopóki nie zobaczyłem tego:

$\sum_{n}^{k=1} \frac{1}{k(k+1}=\frac{n}{n+1}$

O ile mi wiadomo ten znaczek to symbol dwumianu Newtona, ale pojęcia zielonego nie mam co on ma wspólnego z tym równaniem po nim.

Przecież jego używa się do potęgowania. Mógłby mnie ktoś naprowadzić, podać jakiś link czy coś?

Z góry dzięki

Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018

Góra

kristoffwp Offline

Tytuł: Dowód indukcyjny

Napisane: 3 cze 2011, o 15:43

Posty: 687
Lokalizacja: Bielsko - Biała

Ten znaczek to smbol sumy.
$\sum_{i=1}^{n} a_{i}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n-1}+a_{n}$

Jak widać, działa to tak: zmienna "na dole" Przyjmuje wartość początkową (u mnie i=1). Potem mienia się o 1, aż do uzyskania wartości końcowej (u mnie $n$ .) Wszystkie uzyskane składniki dodajemy.

U ciebie:
$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}= \frac{1}{1\cdot 2}+ \frac{1}{2\cdot 3}+...+ \frac{1}{n(n+1)}$

Góra

Sirkami Offline

Tytuł: Dowód indukcyjny

Napisane: 3 cze 2011, o 20:42

Posty: 64
Lokalizacja: Berlin

Aha, no to jak wygląda w takim razie symbol dwumianu Newtona?

A czy ten przykład dobrze rozwiązuje?

$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{n}{2n+1}$

No więc po kolei:

$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{1}{1\cdot3}+\frac{1}{3\cdot5}+...+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}}$

Z polecenia wiemy, że:

$\frac{1}{1\cdot3}+\frac{1}{3\cdot5}+...+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{n}{2n+1}$

No i przeprowadzamy dowód indukcyjny:

1. Sprawdzamy dla n=1
$L=\frac{1}{1\cdot3}=\frac{1}{3}$
$P=\frac{1}{3}$

Zatem: $L=P$

2. Zakładamy że równanie prawdziwe jest dla każdego $n$ i sprawdzamy dla $n+1$

$L=\frac{1}{1\cdot3}+\frac{1}{3\cdot5}+...+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}+\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}=$

$=\frac{n}{2n+1}+\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{1}{2n+1}(n+\frac{1}{2n+3})=$

$=\frac{1}{2n+1}\cdot\frac{2n^{2}+3n+1}{2n+3}=\frac{1}{2n+1}\cdot\frac{2(n+1)(n+\frac{1}{2})}{2n+3}=\frac{n+1}{2n+3}=P$

$cnd$

Czy to jest już kompletne?

Góra

Jan Kraszewski Offline

Tytuł: Dowód indukcyjny

Napisane: 3 cze 2011, o 20:55

Posty: 22268
Lokalizacja: Wrocław

Sirkami napisał(a):

2. Zakładamy że równanie prawdziwe jest dla każdego $n$ i sprawdzamy dla $n+1$

W kwestii formalnej: czegoś takiego nie wolno Ci założyć (bo zrobisz dowód przez założenie tezy...)

Powinieneś wziąć takie $n$ , dla którego równanie jest prawdziwe i pokazać, że wówczas dla $n+1$ równanie też jest prawdziwe. Rachunek pozostaje bez zmian.

JK

Góra

Sirkami Offline

Tytuł: Dowód indukcyjny

Napisane: 3 cze 2011, o 20:58

Posty: 64
Lokalizacja: Berlin

oki wielkie dzięki

Góra

kristoffwp Offline

Tytuł: Dowód indukcyjny

Napisane: 4 cze 2011, o 19:46

Posty: 687
Lokalizacja: Bielsko - Biała

Symbol Newtona:
${n \choose k}= \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Góra

Jan Kraszewski Offline

Tytuł: Dowód indukcyjny

Napisane: 4 cze 2011, o 22:24

Posty: 22268
Lokalizacja: Wrocław

Myślę, że chodziło o dwumian Newtona, a nie o symbol Newtona.

JK

Góra

Marcinek665 Offline

Tytuł: Dowód indukcyjny

Napisane: 4 cze 2011, o 22:37

Posty: 1831
Lokalizacja: Katowice, Warszawa

Można również ugryźć to w inny sposób.

Zauważmy, że:

$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$ , gdzie $k$ jest różne od $0$ i $-1$ .

Stosując taką tożsamość do naszej sumy, łatwo dostać tezę

Góra

Sirkami Offline

Tytuł: Dowód indukcyjny

Napisane: 5 cze 2011, o 12:25

Posty: 64
Lokalizacja: Berlin

wreszcie zrozumiałem istotę dwumianu newtona. Skąd się bierze to sumowanie i na jakiej zasadzie się to dzieje

Góra

Poprzedni | Następny

	Strona 1 z 1	[ Posty: 9 ]

Strona główna Matematyka.pl » Matematyka - królowa nauk » Podstawy matematyki » Indukcja matematyczna

Zobacz podobne tematy
Tytuł tematu	Autor	Odpowiedzi
dowód indukcyjny - zadanie 27	yogi198769	4
Dowód indukcyjny - zadanie 41	Alpha_PL	3
Dowód indukcyjny - zadanie 67	Olka97	8
Dowód indukcyjny - zadanie 45	Macck	5
Dowód indukcyjny - zadanie 54	liebert	1

[Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]