szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 cze 2011, o 14:34 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 64
Lokalizacja: Berlin
Ostatnio mam sporo czasu i postanowiłem pojąć indukcje (w szkole nie uczyli) no i wszystko szło pięknie (umiem już udowodnić trochę bardziej skomplikowane równości) dopóki nie zobaczyłem tego:

\sum_{n}^{k=1} \frac{1}{k(k+1}=\frac{n}{n+1}

O ile mi wiadomo ten znaczek to symbol dwumianu Newtona, ale pojęcia zielonego nie mam co on ma wspólnego z tym równaniem po nim.

Przecież jego używa się do potęgowania. Mógłby mnie ktoś naprowadzić, podać jakiś link czy coś?

Z góry dzięki
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 cze 2011, o 14:43 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 685
Lokalizacja: Bielsko - Biała
Ten znaczek to smbol sumy.
\sum_{i=1}^{n} a_{i}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n-1}+a_{n}

Jak widać, działa to tak: zmienna "na dole" Przyjmuje wartość początkową (u mnie i=1). Potem mienia się o 1, aż do uzyskania wartości końcowej (u mnie n.) Wszystkie uzyskane składniki dodajemy.

U ciebie:
\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}= \frac{1}{1\cdot 2}+ \frac{1}{2\cdot 3}+...+ \frac{1}{n(n+1)}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 cze 2011, o 19:42 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 64
Lokalizacja: Berlin
Aha, no to jak wygląda w takim razie symbol dwumianu Newtona?

A czy ten przykład dobrze rozwiązuje?

\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{n}{2n+1}

No więc po kolei:

\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{1}{1\cdot3}+\frac{1}{3\cdot5}+...+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}}

Z polecenia wiemy, że:

\frac{1}{1\cdot3}+\frac{1}{3\cdot5}+...+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{n}{2n+1}

No i przeprowadzamy dowód indukcyjny:

1. Sprawdzamy dla n=1
L=\frac{1}{1\cdot3}=\frac{1}{3}
P=\frac{1}{3}

Zatem: L=P

2. Zakładamy że równanie prawdziwe jest dla każdego n i sprawdzamy dla n+1

L=\frac{1}{1\cdot3}+\frac{1}{3\cdot5}+...+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}+\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}=

=\frac{n}{2n+1}+\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{1}{2n+1}(n+\frac{1}{2n+3})=

=\frac{1}{2n+1}\cdot\frac{2n^{2}+3n+1}{2n+3}=\frac{1}{2n+1}\cdot\frac{2(n+1)(n+\frac{1}{2})}{2n+3}=\frac{n+1}{2n+3}=P

cnd

Czy to jest już kompletne? :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 cze 2011, o 19:55 
Administrator

Posty: 21711
Lokalizacja: Wrocław
Sirkami napisał(a):
2. Zakładamy że równanie prawdziwe jest dla każdego n i sprawdzamy dla n+1

W kwestii formalnej: czegoś takiego nie wolno Ci założyć (bo zrobisz dowód przez założenie tezy...)

Powinieneś wziąć takie n, dla którego równanie jest prawdziwe i pokazać, że wówczas dla n+1 równanie też jest prawdziwe. Rachunek pozostaje bez zmian.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 cze 2011, o 19:58 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 64
Lokalizacja: Berlin
oki wielkie dzięki :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 cze 2011, o 18:46 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 685
Lokalizacja: Bielsko - Biała
Symbol Newtona:
{n \choose k}= \frac{n!}{k!(n-k)!}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 cze 2011, o 21:24 
Administrator

Posty: 21711
Lokalizacja: Wrocław
Myślę, że chodziło o dwumian Newtona, a nie o symbol Newtona.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 cze 2011, o 21:37 
Korepetytor

Posty: 1830
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
Można również ugryźć to w inny sposób.

Zauważmy, że:

\frac{1}{k(k+1)}  = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}, gdzie k jest różne od 0 i -1.

Stosując taką tożsamość do naszej sumy, łatwo dostać tezę :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 cze 2011, o 11:25 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 64
Lokalizacja: Berlin
wreszcie zrozumiałem istotę dwumianu newtona. Skąd się bierze to sumowanie i na jakiej zasadzie się to dzieje ;)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Dowód indukcyjny - zadanie 53  Hajtowy  6
 Dowód indukcyjny - zadanie 44  rydzyk00  1
 dowód indukcyjny - zadanie 19  xxxNFxxx  5
 Dowód indukcyjny - zadanie 25  iie  1
 dowód indukcyjny - zadanie 2  Margaretta  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl