szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 cze 2011, o 12:14 
Użytkownik

Posty: 78
Lokalizacja: Wadowice
Witam,

dostałem kilka zadań dotyczących równań funkcyjnych. Będę bardzo wdzięczny za szybkie odpowiedzi, bo bardzo zależy mi na czasie. Nie pogardzę pełnymi rozwiązaniami krok po kroku :)

1. Jeżeli funkcja f:\left( 0,1\right) \rightarrow \left( 0,1\right) jest ciągła, to istnieje liczba a \in \left( 0,1\right) taka, że f(a)=a. Udowodnić

2. Funkcje f, g: \left( 0,1\right) \rightarrow R \setminus \left\{ 0,1\right\} spełniają warunki
(a)   \forall x \in R (f(x+1)= \frac{g(x)}{f(x)},
(b)   \forall x \in R (g(x+1)= \frac{g(x)-1}{f(x)-1}.
Udowodnić, że funkcje są okresowe. Wskazać okresy.

3. Wykazać, że jeżeli funkcja f: R \rightarrow R spełnia warunki:
(a)  \forall a, b \in R (\left| f(a)-f(b)\right| \le \left| a-b\right|,
(b) f(f(f(0)))=0,
to f(0)=0

4. Funkcja f:(0,1) \rightarrow R jest ciągła i spełnia warunek:
\forall x \in (0,1) (f(f(x))=x^2.
Udowodnić,że \forall x\in(0,1) (x^2<f(x)<x.

5. a) Udowodnić, że każda funkcja ciągła f:R \rightarrow R spełniająca warunek
\forall x \in R (f(f(f(x)))=x)
jest tożsamością.

b) Podać przykład nieciągłej funkcji g: R \rightarrow R, spełniającej warunek
\forall x \in R (g(g(g(x)))=x)

6. Udowodnić, że każda funkcja ciągła f: R \rightarrow R spełniająca warunki:
(a) \forall x,y \in R (f(x+y)+f(x-y)=2f(x)),
(b) f(0)=c \neq 0
jest postaci f(x)-cx, x \in R

7. Wyznaczyć wszystkie ciągłe funkcje f: R \in R spełniające warunek
\forall x,y \in R (f(x+y)=f(x) \cdot f(y)

8. Wyznaczyć wszystkie ciągłe funkcje f:  R^{+} \rightarrow Rspełniające warunki:
(a) \forall x,y \in R (f(xy)=f(x)+f(y)),
(b) f(a)=1, gdzie a>0 i a \neq 1.

Z góry dziękuję za pomoc i rzetelne rozwiązania :P
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 cze 2011, o 13:17 
Administrator

Posty: 21365
Lokalizacja: Wrocław
Czy mógłbyś używać normalnych kwantyfikatorów? Kod na kwantyfikator szczegółowy to "\exists" \exists (lub szkolnie "\bigvee" \bigvee), a kod na kwantyfikator ogólny to "\forall" \forall (lub szkolnie "\bigwedge" \bigwedge).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 cze 2011, o 14:15 
Użytkownik

Posty: 78
Lokalizacja: Wadowice
Jasne. Już zmieniłem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 cze 2011, o 17:21 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
A skąd dostałeś te zadania i dlaczego tak szybko potrzebujesz rozwiązań?

Q.
Góra
PostNapisane: 13 cze 2011, o 18:57 
Użytkownik
1. Nieprawda, weź f(x)=\sqrt{x}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 cze 2011, o 20:00 
Użytkownik

Posty: 78
Lokalizacja: Wadowice
Muszę je opracować na seminarium. Teoretycznie na środę.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 cze 2011, o 20:06 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Rozwiązania zadań od drugiego do szóstego znajdziesz w książce H. Pawłowskiego Zadania z olimpiad matematycznych z całego świata.

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 cze 2011, o 11:48 
Użytkownik

Posty: 78
Lokalizacja: Wadowice
A znacie może jakąś fajną książkę na temat równań funkcyjnych? Coś z teorią bardziej niż zadaniami.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zbiór zadań - RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI  Rogal  0
 Zbiór zadań - INNE FUNKCJE  Arek  0
 Kilka równań funcyjnych  neworder  7
 kilka zadań z własności funkcji  Maryjan  2
 Kilka prostych zadań :)  Powered  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl