szukanie zaawansowane
 [ Posty: 11 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 cze 2011, o 09:32 
Użytkownik

Posty: 78
Lokalizacja: Wadowice
Hej, rozwiązuję właśnie zadania z równań funkcyjnych i mam mały problem z dwoma zadaniami.

1. Udowodnić, że każda ciągła funkcja f:R \rightarrow R spełniająca warunki:

(a)  \forall_{x,y \in R} f(x+y)+f(x-y)=2f(x)
(b)  f(0)=c \neq 0

jest postaci f(x)=cx,   x \in R



2. Wyznaczyć wszystkie funkcje ciągłe f:R \rightarrow R spełniające warunek:

\forall _{x,y \in R} f(x+y)=f(x)f(y).



Proszę o szybką pomoc :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 cze 2011, o 10:27 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 5404
Lokalizacja: a z Limanowej
1. Funkcja postaci f(x) = cx nie spełnia warunku b), bo f(0) = 0.

2. Najpierw znajdź sobie f(0). Potem policz f(1) i indukcyjnie masz dla wszystkich całkowitych dodatnich.
Potem liczysz f(-1) i indukcyjnie masz dla całkowitych ujemnych. Następnie liczysz f \left( \frac{1}{n} \right) i masz dla liczb wymiernych.
Ponieważ zaś liczby wymierne są gęste w \mathbb{R}, a funkcja jest ciągła, to wynik Twój przedłuża się na wszystkie liczby rzeczywiste.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 cze 2011, o 10:32 
Korepetytor

Posty: 1830
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
Jeśli w pierwszym położymy x=y=0, to dostaniemy f(0) = c, czyli coś się sypie w założeniach. Chyba nie powinno być c \neq 0.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 cze 2011, o 10:46 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 7136
Lokalizacja: Ruda Śląska
W 2. można też pokazać, że albo f\equiv 0 albo dla każdego x:\ \ f(x)>0 i rozważyć funkcję g(x)=\ln f(x), która to będzie miała ciekawe własności, z których otrzymamy rozwiązanie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 cze 2011, o 10:47 
Użytkownik

Posty: 78
Lokalizacja: Wadowice
Co do pierwszego, to doszedłem do tego samego wniosku. Zadania dostałem od promotora i pisałem już do niego czy nie ma tam jakiegoś błędu, ale jeszcze nie odpisał. Dlatego pytałem. A za drugie serdeczne dzięki :)

-- 26 cze 2011, o 11:51 --

Co do drugiego jeszcze. Licząc f(1) podstawić x=y=1/2? Czy jakoś bardziej ogólnie. Podobnie dla f(-1) i f(1/n)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 cze 2011, o 10:56 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 5404
Lokalizacja: a z Limanowej
Zdecydowanie lepiej jest napisać: f(0+1) = f(0)f(1) ;-)
Rozwiązanie Lorka jest bardziej może eleganckie, acz i tak trzeba będzie wykazać, co jest rozwiązaniem tego nowego równania w analogiczny sposób jak tutaj, więc praca dość podobna.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 cze 2011, o 11:11 
Użytkownik

Posty: 78
Lokalizacja: Wadowice
No dobra. Czyli z tego wiem, że f(0)=1, tak? Bo jak wyznaczam wartość w 1 to mi wychodzi, że f(0+1)=f(1)=f(0)f(1) \Rightarrow f(0)=1

A co teraz z tą indukcją? Możesz przeliczyć dla f(1)?

-- 26 cze 2011, o 12:28 --

Bo rozwiązaniem są wszystkie funkcje wykładnicze, nie? Chodzi mi o metodę rozwiązania pokazaną możliwie najłatwiej. Jakoś równań funkcyjnych nie trawię za bardzo, a muszę zrobić to zadanie na najpóźniej jutro. Wydaje mi się to proste, ale sam chyba nie rozkminię tego.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 cze 2011, o 12:02 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 5404
Lokalizacja: a z Limanowej
Tak. Z tego masz f(0), choć znacznie lepiej jest policzyć f(0+0) = f(0)f(0), bo z tego otrzymasz, że f(0) = 1 lub f(0) = 0, który to drugi przypadek zaprowadzi Cię do rozwiązania f(x) = 0.
Natomiast mając policzone, że f(0) = 1 otrzymujesz, że f(1) = f(1), czyli możesz przyjąć f(1) = a dla pewnego a rzeczywistego i różnego od zera (bo to już rozpatrzyłeś).
Następnie obliczasz f(n+1) = f(1)f(n), co przez indukcje daje Ci wzór f(n) = a^{n}.
Tutaj póki co, a mogło być dowolne rzeczywiste różne od zera. Dla wykładników całkowitych (do których przechodzisz analogicznie) tak ogólne założenie jest nadal w mocy.
Jednak, przechodząc do wymiernych łatwo okaże się, że a musi być dodatnie.

Jak będziesz miał nadal kłopoty, to pisz. :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 cze 2011, o 13:25 
Użytkownik

Posty: 78
Lokalizacja: Wadowice
Chyba jednak będę mieć problem. Wychodzi mi tak

Wyznaczyć wszystkie ciągłe funkcje f:R \rightarrow R spełniające warunek
(1) \forall_{x,y\inR}f(x+y)=f(x)f(y)


Weźmy x=y=0. Wówczas mamy
f(0+0)=f(0)=f(0)f(0)=(f(0))^2
Stąd
f(0)=1 \vee f(0)=0.
Załóżmy, że f(0)=0. Mamy wtedy kładąc w (1) x=0, y=1 dostajemy
f(0+1)=f(1)=f(0)f(1)=0
Niech x=0, y=n. Obliczmy
f(0+n)=f(n)=f(0)f(n)=0
Mamy zatem
(2)\forall_{x\inR} f(x)=0.

Kładąc teraz w (1) x=0, y=1 dostajemy
f(0+1)=f(1)=f(0)f(1)
Stąd wiemy, że
f(0)=1
Zatem
f(1)=f(1)

Oznaczmy f(1)=a, gdzie [texa\inR\{0}[/tex]. Bowiem dla a=0 mamy już (2).

Weźmy teraz x=n, y=1, n\inN co daje nam
f(n+1)=f(1)f(n)=....

Co dalej?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 cze 2011, o 14:53 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 5404
Lokalizacja: a z Limanowej
Indukcja - dowodzisz wzoru, który Ci wyżej napisałem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 cze 2011, o 15:02 
Użytkownik

Posty: 78
Lokalizacja: Wadowice
Dobra, dobra :) Mam. Nie doczytałem. Dzięki wielkie.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 11 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Składanie i parzystość funkcji-2 zadania.  qkiz  1
 Kilka równań funcyjnych  neworder  7
 Zadania z funkcją  Jawana  5
 Układ równań - zadanie 24  eerroorr  6
 Miejsce Zerowe funkcji - 3 ciekawe zadania  K7  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl