szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 lip 2011, o 11:21 
Użytkownik

Posty: 116
Lokalizacja: PW
Liczby k i n są nieparzyste i każda z nich ma tylko 3 dzielniki. Uzasadnij, że różnica tych liczb jest podzielna przez 4.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 lip 2011, o 11:22 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4350
Lokalizacja: Nowa Ruda
Skoro ma 3 dzielniki, to musi być kwadratem liczby pierwszej.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 lip 2011, o 22:31 
Użytkownik

Posty: 116
Lokalizacja: PW
Jeszcze jedno pytanie:

czy jest jakieś określenie konkretne na liczbę pierwszą, tak jak np. liczbę nieparzystą możemu zapisać jako 2n+1, n \in N?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 lip 2011, o 22:47 
Użytkownik

Posty: 1426
Lokalizacja: Warszawa
Rozumiem, że chodzi o symboliczny zapis liczby pierwszej? Moja propozycja jest taka:

p \in \mathbb{N} jest pierwsze, gdy

\left(\exists k,l \in \mathbb{N}: \quad p=kl \wedge k \neq l\right) \Rightarrow \left( k=1 \wedge l=p\right)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 lip 2011, o 22:55 
Użytkownik

Posty: 116
Lokalizacja: PW
Czyli rozwiązania zadania nie da się zapisać jako np. różnicę kwadratów liczb, by udowodnić że liczba jest podzielna przez 4?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 lip 2011, o 23:10 
Użytkownik

Posty: 1426
Lokalizacja: Warszawa
Przekombinowałem trochę. Można to zapisać znacznie prościej:

p \in \mathbb{N} jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy \exists!k \in \mathbb{N}_+ \setminus \left\{ 1\right\}: \quad k\mid p.

Co do pytania, to zdaje mi się, że owszem, potrzebne jest raczej rozwiązanie słowne. Ale nie mam czasu się temu bliżej przyjrzeć. Może potem jeszcze rzucę okiem.

Pozdrawiam.

-- 10 lipca 2011, 02:49 --

Ja bym najpierw uzasadnił, że liczba, która ma dokładnie 3 dzielniki jest kwadratem liczby pierwszej. Potem korzystając z tego można zapisać:


k=p^2 \wedge p \in \mathbb{N}

n=r^2 \wedge r \in \mathbb{N}

gdzie p i r są liczbami pierwszymi większymi od 2 (ponieważ liczby k i n są nieparzyste). Dalej mamy:

k-n=p^2-r^2=\left( p+r\right)\left( p-r\right)

Każda liczba pierwsza większa od 2 jest nieparzysta. Suma i różnica liczb nieparzystych jest parzysta.

p+r=2m \wedge m \in \mathbb{Z}

p-r=2l \wedge l \in \mathbb{Z}

k-n=p^2-r^2=\left( p+r\right)\left( p-r\right)=2m \cdot 2l=4ml=4s \wedge s \in \mathbb{Z}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 jak udowodnić, czy dana liczba podzielna jest przez 10  christopher  2
 Udowodnić podzielność przez 248  karolex123  2
 ilośc liczb podzielnych przez 2,3,5  leszczu450  7
 podzielność przez 24 - zadanie 4  Bucu  1
 Podzielność liczby przez 31 - zadanie 2  vertezzo  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl