szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Zaburzanie sum.
PostNapisane: 5 lip 2011, o 13:15 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
ZABURZANIE SUM

Zaburzanie sum to oparta na prostym pomyśle metoda obliczania sum (tzn. przedstawiania ich w postaci zwartej).

\hline


Idea.


Niech S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k. Przedstawmy sumę S_{n+1} na dwa sposoby. Z jednej strony mamy oczywiście:
S_{n+1}=S_n+a_{n+1}
Z drugiej zaś mamy:
S_{n+1}=a_1+\sum_{k=2}^{n+1}a_k=a_1+\sum_{k=1}^{n}a_{k+1}
gdzie w ostatniej równości dokonano przesunięcia wskaźnika sumowania
Przesunięcie wskaźnika sumowania - wyjaśnienie:    

Otrzymaliśmy zatem wzór:

\boxed{\boxed{S_n+a_{n+1}=a_1+\sum_{k=1}^na_{k+1}}}


Idea zaburzania oparta jest na tym, że w sporej klasie sum z wyrażenia po prawej stronie można jakoś "wydobyć" S_n, dzięki czemu dostaniemy równanie z niewiadomą S_n, które łatwo rozwiązać.
Zwróćmy jeszcze uwagę, że powyższa równość łatwo uogólnia się na:

\boxed{\boxed{\sum_{k=m}^Ma_k+a_{M+1}=a_m+\sum_{k=m}^Ma_{k+1}}}


W praktyce wygodniej jest jednak nie podstawiać od razu do tych wzorów (bo po co sobie zaśmiecać nimi pamięć), tylko wykonać za każdym razem analogiczny rachunek.

\hline


Przykłady.


  • S_n=\sum_{k=0}^{n}q^k, gdzie q\neq 1
    Mamy:
    S_n+q^{n+1}=1+\sum_{k=1}^{n+1}q^k=1+\sum_{k=0}^{n}q^{k+1}=
1+q\sum_{k=0}^{n}q^{k}=1+qS_n
    a stąd:
    (q-1)S_n=q^{n+1}-1
    czyli
    S_n=\frac{q^{n+1}-1}{q-1}
  • S_n=\sum_{k=0}^{n}k2^k
    Mamy:
    S_n+(n+1)2^{n+1}=0\cdot 2^0+\sum_{k=1}^{n+1}k2^k=\sum_{k=0}^n(k+1)2^{k+1}=\\ =
2\sum_{k=0}^n}k2^k+2\sum_{k=0}^n2^k=2S_n+2\cdot (2^{n+1}-1)
    a stąd:
    S_n=(n+1)2^{n+1}-2\cdot (2^{n+1}-1)=(n-1)2^{n+1}+2
  • S_n=\sum_{k=0}^{n}k^2
    Mamy:
    S_n+(n+1)^2=0^2+\sum_{k=1}^{n+1}k^2=\sum_{k=0}^{n}(k+1)^2=\sum_{k=0}^{n}(k^2+2k+1)= \\ =\sum_{k=0}^{n}k^2+2\sum_{k=0}^{n}k+ n+1=S_n+2\sum_{k=0}^{n}k+ n+1
    Niestety S_n się skraca, wydawać więc by się mogło, że metoda zawiodła. Zauważmy jednak, że efektem ubocznym jest obliczenie sumy \sum_{k=0}^{n}k, która wynosi:
    \sum_{k=0}^{n}k=\frac 12 \cdot ((n+1)^2-(n+1))=\frac{n(n+1)}{2}.
    Skoro więc zaburzenie sumy kwadratów pozwoliło nam obliczyć sumę pierwszych potęg, to może zaburzenie sumy sześcianów pozwoli nam obliczyć sumę kwadratów? Istotnie:
    U_n=\sum_{k=0}^{n}k^3
    Mamy:
    U_n+(n+1)^3=0^3+\sum_{k=1}^{n+1}k^3=\sum_{k=0}^{n}(k+1)^3=\\ =\sum_{k=0}^{n}(k^3+3k^2+3k+1)= 
U_n+3S_n+3\sum_{k=0}^{n}k + n+1
    a stąd:
    S_n=\frac 13\left( (n+1)^3-\frac{3n(n+1)}{2}-(n+1)\right) =\\ =\frac{2(n+1)n(n+2)-3n(n+1)}{6}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

\hline



(C) by Qń

Wszelkie uwagi, komentarze i pytania proszę przesyłać w wiadomości prywatnej
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 delta różnicowa i zaburzanie  inv  7
 zaburzanie sum  zaklopotany93  1
 zaburzanie sum - zadanie 2  Gogeta  4
 Zaburzanie sumy - zadanie 2  LunaRiddle  1
 Zaburzanie sumy, liczby harmoniczne.  NogaWeza  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl