szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 5 lip 2011, o 15:10 
Użytkownik

Posty: 24
Lokalizacja: Kraków
Jak udowodnić własności wartości bezwzględnej
1)\left| x\right|=\left| y\right| \Leftrightarrow  x^{2}= y^{2}
2)\left| x \cdot y\right|=\left| \left| x\right| \cdot \left| y\right|  \right|
3)\left| x\right|+\left| x\right| =\left| x+x\right|
w ciele częściowo uporządkowanym, w którym porządek jest zgodny z dodawaniem, a nie jest zgodny z mnożeniem

Ciało algebraiczne przemienne (F,+, \cdot,0,1) jest ciałem uporządkowanym
(F,+, \cdot,0,1,<), gdy zbiór (F,<) jest liniowo uporządkowany, a porządek < jest zgodny z działaniami tzn.
a<b \Rightarrow a+c<b+c (zgodność porządku z dodawaniem)
(a<b  \wedge  c>0) \Rightarrow a \cdot c<b \cdot c (zgodnoś porządku z mnożeniem)

Wratość bezwzględna
\left| z\right|=  \begin{cases} z, z \in F \\ -z, z \not  \in  F \end{cases}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lip 2011, o 11:26 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3884
Lokalizacja: Dąbrowa Górnicza & Warwick
W którym miejscu ten dowód nie przechodzi tak jak gdy robisz go dla zwykłej wartości bezwzlgędnej w F=\mathbb{R}?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 7 lip 2011, o 19:39 
Użytkownik

Posty: 24
Lokalizacja: Kraków
Zrobiłam dowód na liczbach zespolonych bo porządek nie jest zgodny z mnożeniem. I to nie wystarczyło.Trzeba to zrobić ogólnie dla ciała częściowo uporządkowanego, w którym porządek jest zgodny z dodawaniem, a nie jest zgodny z mnożeniem, a zbiór licz rzeczywistych z tego co mi się wydaje nie jest takim ciałem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lip 2011, o 20:00 
Użytkownik

Posty: 5105
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Na liczbach zespolonych na ogół nie określa się porządku.

W tym co napisałaś, nie znalazłem ani śladu odpowiedzi na pytanie Spektralnego. A szkoda, bo może problem by się sam rozwiązał.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lip 2011, o 21:59 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3884
Lokalizacja: Dąbrowa Górnicza & Warwick
W ciele liczb zespolonych nie da się wprowadzić takiego porządku by było ono ciałem uporządkowanym ponieważ ciało liczb zespolonych (jako ciało algebraicznie domknięte) nie jest rzeczywiście domknięte.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 7 lip 2011, o 23:46 
Użytkownik

Posty: 1874
Lokalizacja: Lost Hope
Wydaje mi się, że porządek miał być liniowy i zgodny z dodawaniem zaś definicja modułu jakoś tak miała wyglądać:

|z|=\left\{\begin{array}{ccc}z&\mbox{gdy}&z\in F_+\\-z&\mbox{gdy}&z\notin F_+\end{array}\right.

czyli po prostu

|z|=\left\{\begin{array}{ccc}z&\mbox{gdy}&z\ge 0\\-z&\mbox{gdy}&z<0\end{array}\right..

Po kolei:

1.

x^2=y^2\Leftrightarrow x^2-y^2=0\Leftrightarrow(x+y)(x-y)=0\stackrel{\star}{\Leftrightarrow} (x+y=0)\lor(x-y=0)\Leftrightarrow
\Leftrightarrow(x=-y)\lor(x=y)\Leftrightarrow |x|=|y|.

Równoważność z gwiazdką u góry wynika stąd, że w ciele nie ma dzielników zera.

2.

Na mocy 1. mamy:
|x\cdot y|=||x|\cdot|y||\Leftrightarrow (xy)^2=(|x||y|)^2\Leftrightarrow (xy-|x||y|)(xy+|x||y|)=0\Leftrightarrow

\Leftrightarrow(xy-x|y|)(xy+x|y|)=0\Leftrightarrow x(y-|y|)x(y+|y|)=0

To ostatnie wyrażenie jest oczywiście równe 0, bo albo y=|y| albo y=-|y|.

3.

Dwa przypadki.

Jeśli x\ge 0, to x+x\ge 0+x=x\ge 0 skąd:

|x|+|x|=x+x=|x+x|


Jeśli x< 0, to -x+(-x)< 0+x=x< 0 skąd:

|x|+|x|=-x+(-x)=-|-x+(-x)|=|x+x|.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 8 lip 2011, o 17:24 
Użytkownik

Posty: 24
Lokalizacja: Kraków
Bardzo dziękuje za pomoc:)

-- 8 lipca 2011, 18:25 --

I za tak dokładne rozpisanie dowodów:)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 dowód z wartością bezwzględną  Anonymous  1
 Dowod: |a| = sqrt(a^2)  Anonymous  31
 Dowód twierdzenia o istnieniu cechy  KKarolina  9
 opuszczanie wartości bezwzględnych  noob  3
 Napisz wyrażenie bez użycia znaku wartości bezwzględnej.  leszczyk228  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl