szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lip 2011, o 20:27 
Użytkownik

Posty: 116
Lokalizacja: PW
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n liczba n ^{5} -n jest podzielna przez 30.

n ^{5} -n  \Leftrightarrow n(n ^{4} -1) \Leftrightarrow n(n ^{2}+1)(n ^{2}-1}) \Leftrightarrow n(n+1)(n-1)(n ^{2}+1)

n(n+1)(n-1) jest podzielne przez 2 i 3, zatem jest podzielne przez 6 dla każdegon \in N.

Liczba n jest podzielna przez 5, lub daje resztę przy dzieleniu równą 1,2,-1 lub -2.
Niech n=5k \pm 1, n=5k \pm 2, k \in N \cup \left\{ 0\right\}

dla
n=5k+1

(5k+1)(5k+2)(5k)(5k+1)^{2}+1)= 5[k(5k+1)(5k+2)((5k+1) ^{2}+1))]
jednym z czynników jest 5, zatem iloczyn jest podzielny przez 5
\Rightarrow jest podzielny przez 5 \cdot 6=30
Analogicznie dla n=5k-1


dla
n=5k+2

(5k+2)(5k+1)(5k+3)((5k+2)^{2} +1)=(5k+2)(5k+1)(5k+3)(25k ^{2} +20k +5)=5(5k+2)(5k+1)(5k+3)( 5k^{2}+4k+1)

jednym z czynników jest 5, zatem iloczyn jest podzielny przez 5
\Rightarrow jest podzielny przez 5 \cdot 6=30
Analogicznie dla n=5k-2
Zatem dla n \in N liczba n ^{5}-n jest podzielna przez 30, c.n.d.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lip 2011, o 20:47 
Użytkownik

Posty: 1106
Lokalizacja: toruń
jest prawie ok, ale źle wyciągnąłeś piątkę dla n=5k+2 i źle podniosłeś do kwadratu. powinno być ...=(5k+1)(5k+2)(5k+3)(25k^2+20k+5)=5(5k+1)(5k+2)(5k+3)(5k^2+4k+1). Ponadto jak zapisujesz te liczby to zapisz k \in N \cup \{ 0 \}, żeby nie było problemu z jedynką i dwójką. Ponadto taka już też kosmetyczna uwaga zawsze przyda się jakiś komentarz, że liczba jest podzielna przez 5, bo jest postaci 5a, gdzie a \in N \cup {0}. pozdrawiam!
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lip 2011, o 21:03 
Użytkownik

Posty: 116
Lokalizacja: PW
Dzięki za uwagi,
jeszcze nie rozumiem: jaka jest zasada wyłączanie przed nawias gdy jest kilka nawiasów, tak jak tu z całego wyrażenia podzieliłeś tylko jeden nawias przez 5, tzn. nigdy nie dzielimy wszystkich nawiasów tylko zawsze jeden?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lip 2011, o 21:06 
Użytkownik

Posty: 1106
Lokalizacja: toruń
popatrz np. \frac{(4n+8)(2n+1)}{4}=\frac{4(n+2)(2n+1)}{4}=(n+2)(2n+1). czwórka się skraca i tyle. A dzielisz tylko jeden nawias. Inaczej jest w przypadku dodawania i odejmowania i gdy trzeba podzielić każdy czynnik.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lip 2011, o 23:12 
Użytkownik

Posty: 38
Lokalizacja: Łódź
Jeśli można, podzielę się swoim rozwiązaniem - ja się przy tym bawiłem indukcją. Najpierw sprawdzamy dla n=1, następnie założenie indukcyjne:
(n-1)n(n+1)(n^{2}+1)=30k dla k \in Z
i teza: n(n+1)(n+2)(n^{2}+2n+2)=30l dla l \in Z

No i dowodzimy:
n(n+1)(n+2)(n^{2}+2n+2)=n(n+1)(n-1+3)(n^{2}+2n+2)=\\=n(n+1)(n-1)(n^{2}+2n+2)+3n(n+1)(n^{2}+2n+2)=\\=n(n+1)(n-1)(n^{2}+1+2n+1)+3n(n+1)(n^{2}+2n+2)=\\=n(n+1)(n-1)(n^{2}+1)+n(n+1)(n-1)(2n+1)+3n(n+1)(n^{2}+2n+2)=\\=30k+n(n+1)(n-1)(2n+1)+3n(n+1)(n^{2}+2n+2)=\\=30k+n(n+1)((n-1)(2n+1)+3(n^{2}+2n+n))=\\=30k+n(n+1)(2n^{2}+n-2n-1+3n^{2}+6n+6)=\\=30k+n(n+1)(5n^{2}+5n+5)=30k+5n(n+1)(n^{2}+n+1)=\\=30k+5n(n+1)(n^{2}+n-2+3)=\\=30k+5n(n+1)((n-1)(n+2)+3)=30k+5(n-1)n(n+1)(n+2)+15n(n+1)

Ostateczna postać to suma trzech składników, pierwszy podzielny przez 30, drugi to iloczyn liczby 5 i 4 kolejnych liczb, zatem znajdują się wśród nich liczba parzysta i liczba podzielna przez 3, zatem iloczyn ten podzielny jest przez 30, zaś trzecim składnikiem jest iloraz liczby 15 i dwóch kolejnych liczb, z których dokładnie jedna jest parzysta, zatem ich iloczyn także podzielny jest przez 30. Suma liczb podzielnych przez 30 jest podzielna przez 30, c.n.d.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lip 2011, o 23:42 
Użytkownik

Posty: 197
Lokalizacja: Internet
n^5-n=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+5(n-1)n(n+1)...
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 TAPEZ KIEŁBASA  boras1988  2
 wzory Viete'a (Kiełbasa)  Bibox  1
 ciągi, kwadrat i suma kwadratów wyrazów (kiełbasa)  szyymus  1
 ciąg arytemtyczny (Kiełbasa)  kulawy  2
 zaznacz na płaszczyźnie - kiełbasa  little weirdo  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl