szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 24 lip 2011, o 15:15 
Użytkownik

Posty: 15
Zadanie jest takie: Znajdź dziesięć kolejnych nieparzystych liczb naturalnych, których suma jest podzielna przez 99.

Zrobiłam coś takiego:

2a+1 - najmniejsza szukana liczba, a  \in IN, każda następna jest powiększona o 2. Suma wychodzi taka:

20a+100

Wprowadziłam kolejną niewiadomą b, gdzie \frac{20a+100}{99}=b,  b \in IN. No i się zapętliłam, bo mam 2 niewiadome, jedno równanie. Jak inaczej można to zrobić?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 lip 2011, o 15:23 
Korepetytor

Posty: 1830
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
W zasadzie to nie przeszkadza. Wystarczy, że znajdziesz takie a, że liczba 20a + 100 będzie wielokrotnością 99. Można szukać na palcach albo użyć kongruencji :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 lip 2011, o 15:26 
Moderator

Posty: 4435
Lokalizacja: Łódź
Zauważ, że 20a+100=(20a+1)+99 i wystarczy dobrać a tak, by liczba 20a+1 była podzielna przez 99, tj. przez 9 i 11 jednocześnie. Skorzystaj z odpowiednich cech podzielności.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 24 lip 2011, o 15:59 
Użytkownik

Posty: 15
Ok, dzięki, czyli generalnie bez dobierania liczby się nie obejdzie? (Jeszcze nigdy nie miałam do czynienia z kongruencją, póki co nie będę się w to bawić ;) )
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 lip 2011, o 18:05 
Gość Specjalny

Posty: 5019
Lokalizacja: Warszawa
Cytuj:
Można szukać na palcach

Ciekawe :P

Suma dziesięciu liczb nieparzystych jest parzysta, a więc musi się też dzielić przez 198, więc 20a+1=198x, dobrze myślę?

Znalazłem jedną z liczb (1881), dodajemy do siebie ciągle 198 i szukamy liczby zakończonej na 1 i liczba dziesiątek musi być parzysta.

Pokaże ktoś jak znaleźć takie liczby przy pomocy kongruencji, bo tak się zastanawiam i wpaść nie mogę :P
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 lip 2011, o 19:21 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2909
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
20a+100 \equiv 0 \pmod{99}

20a \equiv 98 \pmod{99} /\cdot 5

a \equiv 94 \pmod{99}

a = 99n+94

I teraz za n wstawiając kolejne liczby naturalne \lbrace 0;1;...\rbrace dostajemy a, które generuje nam liczby spełniające tezę, przykładowo wybierając n=0 otrzymujemy a=94  \Leftrightarrow 2a+1 = 189, skąd wynika, że najmniejsza suma spełniająca tezę to: 189+191+193+...+207
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Szukanie liczb  Hlopcyk  1
 Podzielność sumy sześcianów kolejnych liczb naturalnych  Bartek1991  13
 Podzielność liczb - zadanie 8  paula.  2
 Podzielność pewnych liczb  kasia145_1994  1
 Różnica kwadratów 2 liczb N  gieri  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl