szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 26 lip 2011, o 21:50 
Użytkownik

Posty: 224
Jak udowodnić, że jeżeli dowolne liczby rzeczywiste x,y spełniają warunek \left| x-y\right|>1000, to prawdziwa jest nierówność \left| x^3-y^3\right|>1?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 lip 2011, o 23:50 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17633
Lokalizacja: Cieszyn
x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2) i ten trójmian ma zawsze wartość nieujemną, jednak zeruje się wtedy i tylko wtedy, gdy x=y=0. Próbowałbym więc szacować wyrażenie x^2+xy+y^2 przy założeniu |x-y|>1000.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 29 lip 2011, o 15:14 
Użytkownik

Posty: 224
A jakby to szacowanie wyglądało, bo niezbyt mi ono wychodzi...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 lip 2011, o 16:01 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17633
Lokalizacja: Cieszyn
Nie wiem, to tylko pomysł :) Często nawet najbardziej bzdurne pomysły prowadzą do powstania ładnych idei.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 lip 2011, o 16:17 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 485
Lokalizacja: Warszawa
Hmm ciekawe zadania nawet. Spróbuję zrobić..

-- 29 lip 2011, o 16:17 --

Hmm ciekawe zadanie nawet. Spróbuję zrobić..

-- 29 lip 2011, o 17:16 --

BlueSky, Miałaś może ekstrema warunkowe na analizie/matematyce ?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 29 lip 2011, o 17:39 
Użytkownik

Posty: 224
Były, były ;P
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 lip 2011, o 18:18 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 485
Lokalizacja: Warszawa
więc sprawa wygląda tak żebyś znalazła ekstremum tej różnicy sześcianów przy tym pierwszym warunku. Rozbijają odpowiednio na przypadki oczywiście.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 lip 2011, o 20:17 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2909
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
To zadanie można udowodnić prościej.. tak mocne założenie nie jest nam potrzebne, udowodnimy, że |x-y|>2  \Rightarrow |x^3-y^3| > 1, przekształcając równoważnie tezę otrzymujemy |x-y|\cdot |x^2+xy+y^2| > 1 ale L > 2(x^2+xy+y^2) \ge 1  \Leftrightarrow x^2+xy+y^2 \ge \frac{1}{2} z założenia wynika |x-y| > 2  \Rightarrow (x>y+2) \vee (y>x+2) nierówność którą mamy dowieść jest symetryczna względem niewiadomych x,y więc przyjmujemy bso y>x+2 i otrzymujemy do udowodnienia x^2+x(x+2)+(x+2)^2 \ge \frac{1}{2}  \Leftrightarrow 6x^2+12x+7 \ge 0  \Leftrightarrow (\sqrt{6}x+\sqrt{6})^2 + 1 \ge 0 co jest oczywiście prawdziwe dla dowolnej rzeczywistej liczby x, qed.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 lip 2011, o 22:26 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 485
Lokalizacja: Warszawa
Vax, Genialne w swej prostocie ;]
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 30 lip 2011, o 13:01 
Użytkownik

Posty: 224
Super, dzięki za pomoc. ;)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Nierówności z wartością bezwzględną - zadanie 13  tomek278  2
 Pare nierówności z wartością bezwzględną  marsoft  2
 Dwie nierówności  apaczo  1
 Nierówności z wartością bezwzględną - zadanie 11  dymek010  2
 Nierównosci modułowe, spójniki  kejkun7  20
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl