szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sie 2011, o 12:22 
Gość Specjalny

Posty: 5021
Lokalizacja: Warszawa
Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji f(x)=ax^{-1}, gdzie a>0. Rozpatrzmy figury A_1A_2W_2W_1 i B_1B_2W_2W_1, gdzie A_1 i A_2 są dowolnymi różnymi punktami na dodatniej półosi osi OX (na rysunku zacieniowano figurę A_1A_2W_2W_1). Udowodnij, że figury te mają równe pola.

Rysunek: http://img853.imageshack.us/img853/5228/dsc02485s.jpg

Nie wiem jak się za to zabrać, jak by policzyć pole B_1B_2W_2W_1 :?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sie 2011, o 12:29 
Moderator

Posty: 10323
Lokalizacja: Gliwice
posłuż się pojęciem całki oznaczonej; najpierw oblicz całkę z f(x), następnie z funkcji odwrotnej
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sie 2011, o 12:32 
Gość Specjalny

Posty: 5021
Lokalizacja: Warszawa
Ee, ale to jest zadanie ze zbioru Kiełbasy na poziomie liceum (poziom rozszerzony), a tam nie ma całek :P
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sie 2011, o 12:33 
Moderator

Posty: 10323
Lokalizacja: Gliwice
patrząc na wykres tej funkcji widzę, że do udowodnienia tezy wystarczy znajomość wartości pola odpowiednich prostokątów, czyli jednak nie trzeba obliczać pola pod wykresem funkcji, ale wtedy obliczenia są bardziej skomplikowane
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sie 2011, o 12:36 
Użytkownik

Posty: 2911
Lokalizacja: Kraków
Zauważ, że te figury mają wspólne pole, którego wartości nie musisz znać.

-- 3 sierpnia 2011, 12:39 --

Jeżeli y =  \frac{a}{x}, to x \cdot y = a
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sie 2011, o 12:51 
Gość Specjalny

Posty: 5021
Lokalizacja: Warszawa
Myślę i nic wymyślić nie mogę. Nie mam zielonego pojęcia jak to zrobić, jak dla mnie to te figury nie powinny mieć równych pól, tak można wywnioskować z rysunku, ehhh...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sie 2011, o 12:54 
Moderator

Posty: 10323
Lokalizacja: Gliwice
jeśli znasz pojęcie całki to proponuję skorzystać, wtedy jest znacznie szybciej; jeśli nie znasz, oznacz punkt przecięcia odcinków A_1W_1 oraz B_2W_2 jako np. C i oblicz pola prostokątów A_1A_2W_2C oraz B_1B_2CW_1
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sie 2011, o 12:57 
Użytkownik

Posty: 2911
Lokalizacja: Kraków
Tu nie ma nic skomplikowanego. Te prostokąty mają zawsze równe pola, a 'trójkąt' jest częścią wspólną.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sie 2011, o 13:18 
Gość Specjalny

Posty: 5021
Lokalizacja: Warszawa
Eh, pomieszały mi się figury, już mniej więcej rozumiem :P

W_2=\left(x; \frac{a}{x}\right)\\ \\ C=\left(r; \frac{a}{x}\right)\\ \\ A_1=\left(r;0\right)\\ \\ A_2=\left(x;0\right)\\ \\ P_{A_1A_2W_2C}=\frac{a}{x} \cdot \left(x-r\right)=a- \frac{ar}{x}\\ \\ B_1=\left(0,\frac{a}{r}\right)\\ \\ B_2=\left(0,\frac{a}{x}\right)\\ \\ W_1=\left(r, \frac{a}{r} \right)\\ \\ P_{B_1B_2CW_1}=r \cdot \left(\frac{a}{r} -  \frac{a}{x}\right)=a- \frac{ar}{x}\\ \\ P_{A_1A_2W_2C}=P_{B_1B_2CW_1}

Teraz jak to udowodnić słowami, że to udowodniłem :D

Co do całek to nie umiem, niestety.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sie 2011, o 20:00 
Moderator

Posty: 10323
Lokalizacja: Gliwice
Dobrze, teraz wystarczy zauważyć że do pola każdej z tych figur (które są równe) dodaje się takie samo pole innej figury. Alternatywną metodą, ale wymagającą więcej wyjaśnień, jest zauważenie że prostokąty OA_2W_2B_2 oraz OA_1W_1B_1 (gdzie O jest początkiem układu współrzędnych) mają równe pola; szukane pole obu figur otrzymuje się poprzez odjęcie pola prostokąta OA_1CB_2 oraz dodanie pola elementu krzywoliniowego.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Sprawdz czy zbiory rozwiazan tych nierownosci sa sobie rowne  truskawka89  1
 udowodnij, że g(a) jest liczbą całkowitą nieparzystą  roseanne  10
 czy funkcje f i g są równe ???  Marta99  1
 Udowodnij, że funkcja jest rosnąca.  cwaniaqu  1
 Funkcje równe  damcios  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl