szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 sie 2011, o 17:58 
Użytkownik

Posty: 716
Chodzi mi o twierdzenie dot. przecinania się środkowych danego trójkąta w jednym punkcie, który dzieli każdą z nich w stosunku 1:2.

Oznaczenia: A,B,C- wierzchołki trójkąta; E,F,H - środki trzech boków trójkąta; AD, BE, CF - środkowe trójkąta, O - - punkt dzielący środkową AD w stosunku 1:2.

Mam takie pytanie - czy punkt P należy dobrać "w ciemno" tak, by |AD|>|OD|? No bo "wtórny" dowód twierdzenie za pomocą wektorów wygląda trochę tak jakby się je znało i tylko dowodziło pewne przypuszczenie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 sie 2011, o 18:19 
Użytkownik

Posty: 2911
Lokalizacja: Kraków
Możesz wyjść od tego, że środkowe dzielą trójkąt na sześć trójkątów o jednakowych polach. Udowodnisz to stosując wzór na pole trójkąta:
P =  \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \cos \gamma, gdzie a i b, to długości boków a \gamma kąt zawarty między tymi bokami
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 sie 2011, o 14:45 
Użytkownik

Posty: 716
aalmond napisał(a):
Możesz wyjść od tego, że środkowe dzielą trójkąt na sześć trójkątów o jednakowych polach. Udowodnisz to stosując wzór na pole trójkąta:
P =  \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \cos \gamma, gdzie a i b, to długości boków a \gamma kąt zawarty między tymi bokami


Nie wiem czy dobrze myślę, ale żeby to wykazać, to trzeba udowodnić, że te środkowe się przecinają, a nie wiem czy na tym mogę się oprzeć skoro mam to dowieść.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 sie 2011, o 15:01 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2909
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Niech AA' , BB' , CC' będą środkowymi w trójkącie ABC, wówczas trójkąt A'B'C' jest jednokładny do trójkąta ABC skąd dostajemy, że odcinki AA' , BB' , CC' przecinają się w jednym punkcie - środku jednokładności.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 sie 2011, o 16:11 
Użytkownik

Posty: 716
Vax napisał(a):
Niech AA' , BB' , CC' będą środkowymi w trójkącie ABC, wówczas trójkąt A'B'C' jest jednokładny do trójkąta ABC skąd dostajemy, że odcinki AA' , BB' , CC' przecinają się w jednym punkcie - środku jednokładności.


\Delta A'B'C' \sim \Delta ABC - to rozumiem, ale skąd wiadomo, że jest jednokładny?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 sie 2011, o 16:25 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2909
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Obrazek

Z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa wynika, że AB || DE oraz |AB| = 2|DE|, analogicznie pozostałe boki, skoro wszystkie boki trójkąta ABC są równoległe do odpowiednich boków trójkąta D E F to te trójkąty są jednokładne, skala wynosi k = \frac{\vec{DE}}{\vec{AB}} = -\frac{1}{2} stąd dostajemy kolejny wniosek, że środkowe przecinają się w stosunku 2:1.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 sie 2011, o 16:43 
Użytkownik

Posty: 716
Vax napisał(a):
Obrazek

Z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa wynika, że AB || DE oraz |AB| = 2|DE|, analogicznie pozostałe boki, skoro wszystkie boki trójkąta ABC są równoległe do odpowiednich boków trójkąta D E F to te trójkąty są jednokładne, skala wynosi k = \frac{\vec{DE}}{\vec{AB}} = -\frac{1}{2} stąd dostajemy kolejny wniosek, że środkowe przecinają się w stosunku 2:1.


Racja, jest twierdzenie mówiące o tym, że obrazem odcinka w jednokładności jest odcinek do niego równoległy. Ok, kolejno już mogę to powiązać. Dziękuję za pomoc i pozdrawiam.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 jak udowodnić w trójkącie równoramienność?!  ADAM1234  3
 twierdzenia w trojkacie  maturzystkanoico  2
 okrąg opisany na trójkącie - zadanie 31  czarna_magia  2
 Związki miarowe w trójkącie - twierdzenie sinusów  aga_1_5  1
 O trójkącie - zadanie 4  mariusz48  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl