szukanie zaawansowane
 [ Posty: 12 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 sie 2011, o 20:10 
Gość Specjalny

Posty: 2952
Lokalizacja: Wrocław
Mam małe pytanie: :)
Jak przejść do współrzędnych biegunowych w równaniu opisującym walec
(x^2+y^2)^2=2a^2xy
tzn. czemu są równe:
\begin{cases} x(r,\theta)=... \\ y(r,\theta)=... \end{cases}?
i jak opisać obszar zmienności r i \theta?
Podejrzewam, że 0\le \theta \le 2 \pi, bo jeżeli napisano w poleceniu "walec" to musi on 'obiegać' początek układu współrzędnych, czy to jest dobra intuicja? Jak to wyznaczać?
Z gory dziękuję za pomoc.
Góra
PostNapisane: 20 sie 2011, o 20:13 
Użytkownik
(x^2+y^2)^2=2a^2xy

do tego równania wstaw współrzędne biegunowe.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 sie 2011, o 20:20 
Gość Specjalny

Posty: 2952
Lokalizacja: Wrocław
miodzio1988 napisał(a):
do tego równania wstaw współrzędne biegunowe.

po podstawieniu mam
r^2=a^2sin2\theta
stąd wynika, że
0 \le r \le a i
\begin{cases} x(r,\theta)=a\sqrt{sin2\theta}cos\theta \\ y(r,\theta)=a\sqrt{sin2\theta}sin\theta \end{cases}?
Ale nadal nie wiem jak zmienia się \theta.
Góra
PostNapisane: 20 sie 2011, o 20:31 
Użytkownik
A dlaczego r \in (0,a) ? Jak spierwiastkujesz obie strony to nam coś innego wyjdzie po prawej stronie. I kąt też weźmiemy z tego, że prawa strona musi być dodatnia
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 sie 2011, o 20:39 
Gość Specjalny

Posty: 2952
Lokalizacja: Wrocław
Prawa strona dodatnia, więc 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2} lub \pi \le \theta \le \frac{3\pi}{2}. Wówczas
|r|=a\sqrt{sin2\theta} ale 0 \le a\sqrt{sin2\theta} \le a więc r \in [-a,a] (no tak, było źle wtedy).
Czyli przedstawienie biegunowe tej krzywej to
\begin{cases} x(r,\theta)=rcos\theta \\ y(r,\theta)=rsin\theta \end{cases} przy czym r \in [-a,a] i \theta \in \left[ 0, \frac{\pi}{2} \right] \cup \left[ \pi, \frac{3\pi}{2} \right]?
Góra
PostNapisane: 20 sie 2011, o 20:41 
Użytkownik
No prawie dobrze. Tylko tego sinusa tak sobie nie możesz ograniczyć przez jedynkę :P

Z tą uwagą narysuj to co Ci wyszło w jakimś programie i zobacz co mamy
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 sie 2011, o 21:05 
Gość Specjalny

Posty: 2952
Lokalizacja: Wrocław
miodzio1988 napisał(a):
Tylko tego sinusa tak sobie nie możesz ograniczyć przez jedynkę :P

dalczego? ;p
r nie może być większe od a, bo wtedy równanie r^2=a^2sin2\theta nie miałoby sensu, więc wg mnie musi być 0 \le a\sqrt{sin2\theta} \le a.
Góra
PostNapisane: 20 sie 2011, o 21:09 
Użytkownik
Weźmy np:

x ^{2}+y ^{2}   \le  4

Biegunowe znowu bierzemy.

r ^{2} \le 4 \le  100

r \in (-10,10)

? ;]
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 sie 2011, o 21:28 
Gość Specjalny

Posty: 2952
Lokalizacja: Wrocław
No ok, ale u nas, ten sinus przyjmuje wartość 1 dla argumentu \frac{\pi}{4} np.
Z innego punktu widzenia: sugerujesz, że jest lepsze (we wskazanym sensie) ograniczenie dla wyrażenia a\sqrt{sin2\theta}, tzn.
a\sqrt{sin2\theta} \le \xi <a
Mamy zatem
r^2=a^2sin2\theta \le \xi^2
więc
\begin{cases} x(r,\theta)=rcos\theta \\ y(r,\theta)=rsin\theta \end{cases} gdzie -\xi \le r \le \xi i \theta \in \left[ 0, \frac{\pi}{2} \right] \cup \left[ \pi, \frac{3\pi}{2} \right]
Połóżmy \theta= \frac{\pi}{4} wtedy
x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}r
i wstawiając to do (x^2+y^2)^2=2a^2xy mamy r^3=a^2 wtw r=a, ale r<a ?
Musi być 0 \le a\sqrt{sin2\theta} \le a :)
Góra
PostNapisane: 20 sie 2011, o 21:36 
Użytkownik
No to już Ci obaliłem Twoje myślenie :D Patrz mój post :P
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 sie 2011, o 21:40 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 5404
Lokalizacja: a z Limanowej
Może podpowiem - Tomku, to ograniczenie, które Ci wychodzi 0 \leq r = a \sqrt{\sin 2 \theta}, to już jest koniec - r przebiega właśnie taki przedział od zera do tego a pierwiastków... ;-)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 sie 2011, o 21:54 
Gość Specjalny

Posty: 2952
Lokalizacja: Wrocław
O! Dzięki :)
nie zauważyłem tego :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 12 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Współrzędne punktów wspólnych - zadanie 3  martle  1
 Wyznacz wzór funkcji f i współrzędne wektora v  pitergg  18
 warunek spełdnia współrzędne  lampid  1
 Dziedzina, miejsca zerowe i współrzędne  dezett  2
 współrzędne+wykres  RafalM  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl