szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 sie 2011, o 15:28 
Użytkownik

Posty: 13
Lokalizacja: Bydgoszcz
W kwadrat ABCD o boku dł. 1 na boku AB wybrano punkt M. Na bokach BC i AD wybrano kolejno punkty P i N w ten sposób, że \sphericalangle PMN=120, a dwusieczna tego kąta jest równoległa do BC. Oblicz długość odcinka MN i MP, dla których pole trójkąta MNP jest największe.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 sie 2011, o 16:53 
Użytkownik

Posty: 716
Jeśli się nie pomyliłem, to MP = \frac{\sqrt{3}}{3} oraz MN = \frac{\sqrt{3}}{3} żeby pole było największe.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 sie 2011, o 16:56 
Użytkownik

Posty: 13
Lokalizacja: Bydgoszcz
a jak to obliczyć?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 sie 2011, o 16:59 
Użytkownik

Posty: 716
help-eu napisał(a):
a jak to obliczyć?


Założenia (zrób sobie szczegółowy rysunek - zaznacz dwusieczną, jej punkty wspólne z bokami kwadratu, dodatkowo narysuj trójkąt PMN):

P \in BC \wedge M \in AB \wedge N \in AD \wedge dwusieczna \angle PMN \parallel BC \wedge |\angle PMN|=120^\circ=\frac{2 \pi }{3}

Zauważ, że ME \parallel BC \Rightarrow EM \perp AB stąd |\angle PMB|= \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6} Z tego zaś wynika, że |\angle BPM|=\frac{\pi}{3}
Ponadto \Delta AMN  \sim \Delta MBP (Uzasadnienie identyczne)

Z definicji sinusa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym masz:

\frac{|MB|}{|MP|}=\frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow |MP|=\frac{2|MB|}{\sqrt{3}}
oraz
\frac{|MA|}{|MN|}=\frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow |MN|=\frac{2|MA|}{\sqrt{3}}

Zauważ, że |MB|+|MA|=1

Stąd |MN|=\frac{2(1-|MB|)}{\sqrt{3}}

P_\Delta ABC=\frac{1}{2} |MP||MN|\sin\frac{2\pi}{3}

Po równoważnym podstawieniu i wyliczeniu danych będzie P_\Delta ABC=-\frac{\sqrt{3}}{3} |MB|^2 + \frac{\sqrt{3}}{3} |MB|

Teraz należy stwierdzić kiedy to będzie największe - jest to funkcja kwadratowa wyrażająca pole tego trójkąta w zależności od długości boku |MB|. Największa wartość tej funkcji znajduje się na wierzchołku paraboli, którego odcięta |MB|_w=\frac{\frac{- \sqrt{3}}{3}}{\frac{-2\sqrt{3}}{3}}=\frac{1}{2}

Stąd \cos \frac{\pi}{6}=\frac{\frac{1}{2}}{|MP|} \Leftrightarrow |MP|=\frac{\sqrt{3}}{3} (odpowiedni trójkąt i odpowiednia funkcja trygonometryczna przy tej długości boku dla którego to pole będzie największe)

Analogicznie |MN|=\frac{\sqrt{3}}{3}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 9 wzorów na pole trójkąta  Anonymous  12
 Oblicz wysokość trójkąta równoramiennego  Anonymous  1
 Oblicz długośći boków trójkąta. Dany obwód i pole  Anonymous  11
 Oblicz pole trójkąta - podobieństwo trójkątów  Anonymous  2
 Przy jakiej długości boków trójkąta obwód jest najm  Anonymous  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl