szukanie zaawansowane
 [ Posty: 12 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 5 wrz 2011, o 14:50 
Użytkownik

Posty: 383
Udowodnij, ze 83 dzieli
(2 \cdot 5 ^{7}-5 \cdot 2 ^{7}) ^{83}-(2 \cdot 5 ^{7}) ^{83}+(5 \cdot 2 ^{7}) ^{83}.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 wrz 2011, o 15:23 
Użytkownik

Posty: 1106
Lokalizacja: toruń
Skorzystaj z rozwinięcie newtona i z tego, że {83 \choose k} jest podzielne przez 83 dla k \in \{2,...,82 \}. pozdrawiam!
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 5 wrz 2011, o 15:27 
Użytkownik

Posty: 383
Dziekuje. A moglbys jakos dokladniej to rozpisac? Bo nie za bardzo wiem jak...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 wrz 2011, o 15:40 
Użytkownik

Posty: 1106
Lokalizacja: toruń
Zobacz jak wygląda rozwinięcie dwumianowe i z tego wyciągnij odpowiednie wnioski. Prawie wszystkie składniki będą podzielne przez 83 z tego co napisałem wyżej,a te które nie są podzielne skrócą się:)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 6 wrz 2011, o 09:53 
Użytkownik

Posty: 383
Ala jak:
z tego, ze
{83 \choose k}= \frac{83!}{(83-k)!k!}?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 wrz 2011, o 10:59 
Użytkownik

Posty: 1106
Lokalizacja: toruń
jak rozwiniesz (2 \cdot 5^7-5\cdot 2^7)^83 to skrócą Ci się pierwszy i ostatni składnik, a reszta będzie podzielna przez 83 z uwagi którą napisałem na samym początku.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 wrz 2011, o 12:32 
Korepetytor

Posty: 1830
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
Stosując Małe Twierdzenie Fermata otrzymujemy:

(2 \cdot 5 ^{7}-5 \cdot 2 ^{7}) ^{83}-(2 \cdot 5 ^{7}) ^{83}+(5 \cdot 2 ^{7}) ^{83} \equiv 2 \cdot 5 ^{7}-5 \cdot 2 ^{7}-2 \cdot 5 ^{7}+5 \cdot 2 ^{7} \equiv 0 \ \left( mod \ 83\right), gdyż 83 jest liczbą pierwszą. A to w łatwy sposób kończy dowód.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 8 wrz 2011, o 10:34 
Użytkownik

Posty: 383
mateuszek89 napisał(a):
{83 \choose k} jest podzielne przez 83 dla k \in \{2,...,82 \}.

Ok, zrobilam korzystajac z tego. Ale jak udowodnic powyzsze?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 wrz 2011, o 12:24 
Użytkownik

Posty: 569
Lokalizacja: BK
Rozpisz i skorzystaj z tego ze 83 jest liczba pierwsza.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 8 wrz 2011, o 17:41 
Użytkownik

Posty: 383
Ale wlanie nie wiem jak to rozpisac zeby bylo widac.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 wrz 2011, o 21:21 
Użytkownik

Posty: 569
Lokalizacja: BK
Niech p będzie liczba pierwszą.
{p \choose k}= \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ...   \cdot p}{k! \cdot (p-k)!}
Wiadomo że ta liczba jest całkowita. W liczniku mamy mnożenie przez p. Jeśli ta liczba nie miałaby być podzielna przez p, to to p z licznika musiało by się jakoś skrócić z mianownikiem. Jako że p jest pierwsze, więc skrócić mogłoby się tylko przez p w mianowniku ale jako że 2 \le k \le   p-1, to wszystkie czynniki tych dwóch silni to liczby mniejsze od p, więc skrócic się nie mogło, czyli wyjściowa liczba jest podzielna przez to nieszczęsne p

Chyba bardziej sie tego nie da rozpisac:P
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 14 wrz 2011, o 12:33 
Użytkownik

Posty: 383
Dziekuje :-)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 12 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Suma dwóch liczb naturalnych jest równa 96...(podzielność)  Mithrandir  14
 Podzielność dwóch liczb całkowitych  Mariusz1234  1
 nww i nwd znajac podzielnosc  raitoningu  5
 Zasada Szufladkowa, podzielność  Milczek  1
 Podzielność przez 97 i 7019801  alchemik  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl