szukanie zaawansowane
 [ Posty: 11 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 wrz 2011, o 20:29 
Użytkownik

Posty: 8
Udowodnij, że jeżeli środkowe AA', BB', CC' trójkąta ABC przecinają się w takim punkcie M, że \sphericalangle ABB' =  \sphericalangle MAB' to \frac{CC'}{BC} =  \frac{ \sqrt{3} }{2}
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 7 wrz 2011, o 22:39 
Użytkownik

Posty: 16230
Udało mi się jedynie udowodnić, że trójkąt ABC jest równoramienny.
Nie mam pomysłu na dowód, że jest równoboczny.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 wrz 2011, o 23:02 
Użytkownik

Posty: 8
Zadanie ogólnie wymagało by dowieść, że \frac{AA'}{AB}= \frac{BB'}{AC} =  \frac{CC'}{BC} =  \frac{ \sqrt{3} }{2}. Uznałem, że skoro 2 pierwsze dowiodłem to nie będę umieszczał, ale może to, że trzeba było wcześniej obliczyć stosunki innych środkowych naprowadzi na jakiś pomysł?

W odpowiedziach jest schemat dowodu \frac{AA'}{AB} = \frac{ \sqrt{3} }{2}, a pod koniec jest napisane, że resztę dowodzi się analogicznie. \frac{BB'}{AC} = \frac{ \sqrt{3} }{2} owszem łatwo dowodzi się analogicznie (nadal operujemy na tych samych trójkątach podobnych), ale \frac{CC'}{AB} = \frac{ \sqrt{3} }{2} już gorzej, gdyż niestety nie mamy takich samych kątów (może i mamy, ale nie mam pojęcia jakby można to udowodnić), co prowadzi do tego, że nie mamy trójkątów podobnych (lub jak wyżej).
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 7 wrz 2011, o 23:19 
Użytkownik

Posty: 16230
Pewnie, że pomogą.
Trójkąt ABC jest równoramienny (w razie co mam na to dowód)
AC=BC=a
AB=c
\frac{AA'}{AB}= \frac{ \frac{1}{2}  \sqrt{2a^2+2c^2-a^2} }{c} = \frac{ \sqrt{a^2+2c^2} }{2c}
stąd mamy
\frac{ \sqrt{a^2+2c^2} }{2c}= \frac{ \sqrt{3} }{2}
2\sqrt{a^2+2c^2} =2c \sqrt{3}
a^2+2c^2=3c^2
a^2=c^2
a=c
czyli trójkąt jest równoboczny

\frac{CC'}{BC}= \frac{ \frac{a \sqrt{3} }{2} }{a} = \frac{ \sqrt{3} }{2}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 wrz 2011, o 23:19 
Gość Specjalny

Posty: 2952
Lokalizacja: Wrocław
Można też tak:
\angle AA'C'= \angle A'AB' = \angle ABB', więc na A'BC'M można opisać okrąg, zatem
\frac{BC}{CM}=\frac{CC'}{CA'}=\frac{CC'}{\frac{1}{2}CB} stąd \frac{CC'^2}{CB^2}=\frac{3}{4} (po uwzględnieniu, że CM=\frac{2}{3}CC').
:)

-- 7 wrz 2011, o 23:21 --

anna_, też miałem taki pomysł z początku :)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 7 wrz 2011, o 23:24 
Użytkownik

Posty: 16230
A tak z ciekawości, mógłbyś przytoczyć dowód na

\frac{AA'}{AB} = \frac{ \sqrt{3} }{2}
?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 wrz 2011, o 23:27 
Użytkownik

Posty: 8
A mogłabyś napisać ten dowód na to, że trójkąt jest równoramienny? ;> Byłbym wdzięczny ;)

\sphericalangle  ABB' =  \sphericalangle  MAB', więc trójkąty ABB' i MAB' są podobne.
\frac{AB}{AM} =  \frac{BB'}{AB'}  =  \frac{AB'}{MB'}
Z powyższego AB = AM *  \frac{BB'}{AB'} oraz AB' ^{2} = BB' * MB'  \Rightarrow   AB'  =  \sqrt{BB' * MB'}

AB = AM *  \frac{BB'}{ \sqrt{BB'*MB'} } = AM *  \sqrt{ \frac{BB'}{MB'} }

Z twierdzenia o środkowych BB' = 3B'M, więc
AB = AM *  \sqrt{3}

Więc \frac{AA'}{AB} =  \frac{3}{2}  *  \frac{AM}{ \sqrt{3}*AM } =  \frac{ \sqrt{3} }{2}
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 7 wrz 2011, o 23:39 
Użytkownik

Posty: 16230
Obrazek

Odcinek B'A' łączy środki boków trójkąta, jest więc równoległy do podstawy AB i równy jej połowie.

| \sphericalangle B'A'A|=| \sphericalangle A'AB| - kąty naprzemianległe są sobie równe
| \sphericalangle B'BA|=| \sphericalangle BB'A'| - kąty naprzemianległe są sobie równe
Wynika stąd, że trójkąty ABM i A'B'M są równoramiene.
Zatemi środkowe AA' i BB' są sobie równe, czyli AC=BC

-- dzisiaj, o 23:43 --

Mam zły rysunek, rozwiązywałam inne zadanie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 wrz 2011, o 23:46 
Użytkownik

Posty: 8
Dzięki wielkie ;) Mam tylko jedno małe pytanie, z czego skorzystałaś tutaj?
{AA'= \frac{1}{2}  \sqrt{2a^2+2c^2-a^2}
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 7 wrz 2011, o 23:54 
Użytkownik

Posty: 16230
Jest źle, zaznaczyłam nie ten kąt.

Wzór miałam stąd:
Kod:
1
http://pl.wikipedia.org/wiki/Środkowa_trójkąta
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 wrz 2011, o 23:58 
Użytkownik

Posty: 8
Dzięki raz jeszcze ;) Nawet nie wiedziałem, że taki wzór jest, a może wiedziałem, ale zapomniałem... Tak czy siak śliczne dzięki ;)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 11 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 trójkąt ostrokatny - zadanie 20  breti  1
 trójkąt prostokątny - 2 zadania  witek010  6
 trójkąt równoboczny i pierścień  ania.g1995  3
 okrag wpisany w trojkat - zadanie 6  mokasyn15  9
 trójkąt - dł. boku  dzikaafryka  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl