szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 15 wrz 2011, o 19:34 
Użytkownik

Posty: 14
Lokalizacja: wrc
Witam, mam problem z tymi zadaniami, nie wiem jak je ugryźć:

1. Czy prawdą jest, że dowolna potęga liczby 376 (o wykładniku całkowitym dodatnim) kończy się cyframi 376?
2. Liczba 390 jest suma kwadratów trzech różnych liczb pierwszych. Znajdź te liczby.
3. Ustal, czy istnieje liczba zapisana samymi siódemkami i podzielna przez 77?
4. Wykaż, że (2^{2000})-24 dzieli się przez 240.

Dziękuję z góry


___
Przepraszam że powtarzam topic w innym rozdziale, ale ciężko mi zakwalifikować ten typ zadań
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 wrz 2011, o 19:40 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2909
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
1) Tak, korzystamy z indukcji, dla n=1 działa, założenie: 376^n \equiv 376\pmod{1000}, mamy dowieść, że 376^{n+1} \equiv 376 \pmod{1000}, istotnie 376^{n+1} \equiv 376\cdot 376^n \equiv 376^2 \equiv 376\pmod{1000} cnd.

2) 2^2 + 5^2 + 19^2 = 390

3) Tak, 77

4) 2^{2000} \not\equiv 24 \pmod{240}, dobrze przepisałeś?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 15 wrz 2011, o 19:56 
Użytkownik

Posty: 14
Lokalizacja: wrc
tam jest znak 'minus' ale i tak jest tam błąd:

Wykaż, że (2^{2000}) - (2^4)dzieli się przez 240.

Dzięki za odpowiedzi, ale od odpowiedzi ważniejsze są rozwiązania..
trochę nie bardzo rozumiem 1) odpowiedzi


jestem k (a nie m)

Pozdrawiam
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 wrz 2011, o 20:13 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2909
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
anggelika napisał(a):
jestem k (a nie m)


Aj, przepraszam, nie spojrzałem.

W takim razie bez kongruencji:

Mamy pokazać, że 240 | 2^{2000} - 16

Zauważ, że 240 = 16 \cdot 3 \cdot 5, teraz:

2^{2000} - 16 = 16(2^{1996}-1) = 16(2^{998}-1)(2^{998}+1) = 16(2^{499}-1)(2^{499}+1)(2^{998}+1)

Korzystając teraz ze wzoru a^{2k+1} + b^{2k+1} = (a+b)(a^{2k}-a^{2k-1}b+a^{2k-2}b^2-...+b^{2k}) dostajemy, że 2^{499}+1 = 3(2^{498}-2^{497}+...+1), czyli ten czynnik dzieli się przez 3. Pokażemy teraz, że 5 | 2^{998}+1, istotnie 2^{998}+1 = 4^{499}+1 = 5(4^{498}-4^{497}+...+1), czyli całe nasze wyrażenie dzieli się przez 16 \cdot 3 \cdot 5 = 240 cnd.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 15 wrz 2011, o 20:41 
Użytkownik

Posty: 14
Lokalizacja: wrc
a takie coś:

1. Niech n będzie dodatnią liczbą całkowitą. Dla jakiego a zachodzi równość: a^n + a^n = a^{n+1}
2. Znajdź wszystkie liczby naturalne n, dla których liczba (n^4)+4 jest pierwsza.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 wrz 2011, o 20:52 
Gość Specjalny

Posty: 5019
Lokalizacja: Warszawa
a^n + a^n = a^{n+1}

a^n + a^n - a^n  \cdot a=0

a^n(1+1-a)=0

a^n=0  \vee a=2

(a^n=0  \Leftrightarrow a=0  \wedge n > 0) \vee a=2
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 wrz 2011, o 20:59 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2909
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
n^4+4 = (n^2+2)^2 - (2n)^2 = (n^2-2n+2)(n^2+2n+2)

n naturalne czyli n^2-2n+2 < n^2+2n+2 czyli skoro ma być to liczba pierwsza to musi zajść n^2-2n+2 = 1  \Leftrightarrow (n-1)^2 = 0  \Leftrightarrow n=1, dla n=1 dane wyrażenie jest równe 5 co jest pierwsze, czyli n^4+4 jest pierwsze jedynie dla n=1.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 15 wrz 2011, o 21:07 
Użytkownik

Posty: 14
Lokalizacja: wrc
oki, super dzięki

Pozdriawiam
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (3 zadania) Wykaż, że liczby są podzielne przez ...  Anonymous  5
 (4 zadania) Sprawdz podzielność wyrażenia  Anonymous  3
 (4 zadania) Sprawdz podzielność liczb przez 10  Anonymous  4
 (3 zadania) Udowodnić podzielność przez 9. Wykazać, że  basia  2
 (3 zadania) Znajdź największą wspólną wielokrotność  hellfasy22  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl