szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 16 wrz 2011, o 20:54 
Użytkownik

Posty: 14
Lokalizacja: wrc
Witam,

mam jeszcze problem z takimi zadaniami:


1. Niech n będzie liczbą naturalną. Wykaż, że liczby 12^{n} i 12^{n} + 2^{n} mają taką samą liczbę cyfr.
2. Wyznacz dwie ostatnie cyfry rozwinięcia dziesiętnego liczby 7^{1999}

Dziękuje z góry
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 wrz 2011, o 21:04 
Gość Specjalny

Posty: 5782
Lokalizacja: Toruń
1. To nie jest prawdą, chociażby np. dla n=351

2. Przystawanie modulo 100, wykorzystaj twierdzenie Eulera
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 16 wrz 2011, o 21:24 
Użytkownik

Posty: 14
Lokalizacja: wrc
Przepraszam za bład w 1 zadaniu, juz poprawione.
a z tym 2, nie bardzo rozumiem podpowiedzi... To są zadania (w prawdzie dodatkowe) z poziomu 3 klasy gimnazjum...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 wrz 2011, o 21:37 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2911
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa / Zurych
1) Załóżmy nie wprost, że 12^n oraz 12^n+2^n nie mają tej samej liczby cyfr, czyli dla pewnego naturalnego k zachodzi (oczywiście k>n):

12^n < 10^k \le 12^n+2^n

Dzieląc nasze nierówności przez 2^n dostajemy:

6^n < 2^{k-n}6^k \le 6^n+1

Czyli 2^{k-n}6^k = 6^n+1

Ale lewa strona dzieli się przez 6 a prawa nie, sprzeczność która dowodzi poprawności tezy.

2) Tutaj najlepiej właśnie użyć kongruencji.. mamy znaleźć x \equiv 7^{1999} \pmod{100}  \Leftrightarrow  \begin{cases} x \equiv 7^{1999} \equiv (-1)^{1999} \equiv 3 \pmod{4}\\ x \equiv 7^{1999} \equiv 7\cdot 49^{999} \equiv 7\cdot (-1)^{999} \equiv -7 \equiv 18 \pmod{25} \end{cases}

Czyli \begin{cases} x \equiv 3 \pmod{4}\\ x \equiv 18\pmod{25} \end{cases} skąd łatwo dostajemy x \equiv 43 \pmod{100}
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 16 wrz 2011, o 22:04 
Użytkownik

Posty: 14
Lokalizacja: wrc
Ale dlaczego przyjąłeś to 10^{k}

i dlaczego jeśli nie dzieli się przez 6 to znaczy że liczby te mają taką samą liczbę cyfr.

Jeśli dałoby się to jakoś prościej wytłumaczyć, byłabym wdzięczna
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 wrz 2011, o 22:15 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2911
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa / Zurych
Zauważ, że mając 2 liczby x oraz y które mają różną liczbę cyfr, zawsze znajdzie się takie k, że x < 10^k \le y, na przykład mając x = 93 \wedge y = 151, to wtedy k=2, 93 < 100 = 10^2 \le 151, albo x = 987 \wedge y = 1000, wtedy 987 < 1000 = 10^3 \le 1000.

Założyliśmy nie wprost, że wyrażenia 12^n oraz 12^n + 2^n mają różną liczbę cyfr, chcemy pokazać, że mają taką samą, czyli musimy wykonując szereg różnych przekształceń otrzymać sprzeczność, takową więc otrzymaliśmy, ponieważ nie istnieje taka liczba całkowita, żeby jednocześnie dzieliła się i nie dzieliła się przez 6 ;)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 17 wrz 2011, o 00:07 
Użytkownik

Posty: 14
Lokalizacja: wrc
Dzieląc nasze nierówności przez 2^n dostajemy:

6^n < 2^{k-n}6^k \le 6^n+1

A w tym środkowym 6^{k} nie powinno być 5^{k} ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 wrz 2011, o 00:16 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2911
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa / Zurych
Powinno, zapatrzyłem się na tą 12, ale to uzasadnia się w podobny sposób:

6^n < 2^{k-n}5^k \le 6^n+1

Czyli 2^{k-n}5^k = 6^n + 1

Lewa strona dzieli się przez 5 a prawa nie.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Różnica cyfr pewnej liczby wynosi 5 ... Znajdź tę liczb  Tomasz B  4
 Czy podana liczba jest podzielna przez 10  krystian8207  3
 Prze co dzieli się ta liczba  sejman  4
 Wykaż, że liczba k jest podzielna przez 600  Yaniene  4
 Udowodnij, że liczba... jest wielokrotnością...  Roman24  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl