szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 19 wrz 2011, o 18:36 
Użytkownik

Posty: 14
Lokalizacja: wrc
Mam problem z takim zadaniem:

Podaj przykładowe liczby spełniającw równanie:

x ^{3} + y^{4} = z ^{5}

Dziękuję
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 wrz 2011, o 18:45 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2911
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa / Zurych
Zauważ, że dane równanie spełniają dla dowolnego naturalnego n trójki:

(x,y,z) = (2^{20n+8} , 2^{15n+6} , 2^{12n+5})

Podstawiając pod n kolejne liczby naturalne możesz wygenerować nieskończenie wiele liczb spełniających dane równanie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 wrz 2011, o 18:46 
Gość Specjalny

Posty: 5021
Lokalizacja: Warszawa
np. x=y=z=0
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 19 wrz 2011, o 19:08 
Użytkownik

Posty: 14
Lokalizacja: wrc
Dzięki Vax, zgadza się, ale mógłyś to może jakoś napisać jak do tego doszedłeś...

Kamil, z tymi zerami też wpadłam ale nie wiem czy o to chodziło, tak samo spełnia 1,0,1 ale dziękuje
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 wrz 2011, o 19:40 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2911
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa / Zurych
Zauważyłem, że dla dowolnej naturalnej k zachodzi (*)2^k + 2^k = 2^{k+1}. Chcielibyśmy jakoś przypasować te x,y,z abyśmy mogli z tego skorzystać, czyli inaczej mówiąc chcemy, aby 3 | k \wedge 4 | k \wedge 5 | k+1 co jest równoważne:

\begin{cases} k \equiv 0 \pmod{3}\\ k \equiv 0 \pmod{4} \\ k+1 \equiv 0 \pmod{5}  \Leftrightarrow k \equiv 4 \pmod{5} \end{cases}

Z tego po prostych obliczeniach dostajemy:

k = 60n+24

No i wstawiając do (*) dostajemy:

2^{60n+24} + 2^{60n+24} = 2^{60n+25}

Czyli:

(2^{20n+8})^3 + (2^{15n+6})^4 = (2^{12n+5})^5

Czyli (x,y,z) = (2^{20n+8} , 2^{15n+6} , 2^{12n+5})
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 19 wrz 2011, o 20:37 
Użytkownik

Posty: 14
Lokalizacja: wrc
Oki, dziękuję kolejny raz. Pozdrawiam
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 wykaż że kwadrat liczby  elcia  1
 Dzielenie kwadratu liczby nieparzystej przez 4  redt  4
 Znaleźć liczby całkowite a, b takie, ze 160 a + 841...  imax  3
 liczba dzielników liczby  xxxxx  7
 Wykaż podzielność liczby przez 17.  Espeqer  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl