szukanie zaawansowane
 [ Posty: 16 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 19 wrz 2011, o 22:11 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 208
Lokalizacja: Polska
Wykaż, że liczba 29 ^{11} - 3 ^{11} jest podzielna przez 19.
Mam problem w rozpisaniu wzoru a ^{n} - b ^{n}. Mógłby mi go ktoś rozpisać najlepiej postawiając dane z zadania? (Na postaci ogólnej nie chce mi wyjść, bo w rozwinięciu wzoru jest dziwne uproszczenie, które można rozumieć dwuznacznie)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 wrz 2011, o 22:14 
Gość Specjalny

Posty: 5019
Lokalizacja: Warszawa
Ta liczba nie jest podzielna przez 19, na pewno dobrze przepisałaś?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 19 wrz 2011, o 22:52 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 208
Lokalizacja: Polska
Cenna wskazówka. Liczba miała być podzielna przez 13. Ze wzorem sobie poradziłam, czyli zadanie rozwiązane.
W odpowiedziach miałam taki wzór: a ^{n} - b ^{n} = (a-b)(a ^{n-1} b + a  ^{n-2}b+ ... + ab ^{n-2} + b ^{n-1} ). Czy jest on poprawny? Tym razem dobrze przepisałam ;-) Uprzedzając pytanie skorzystałam z innego wzoru przy rozwiązywaniu, o ile nie są one równoważne. (Jeśli ten wzór jest prawdziwy to są równoważne)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 wrz 2011, o 22:55 
Użytkownik

Posty: 3426
Lokalizacja: Szczecin
wzor prawdziwy z jednym wyjatkiem (a^{n-1}b^0+ \ldots)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 19 wrz 2011, o 23:21 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 208
Lokalizacja: Polska
I przez ten detal straciłam godzinę na nieudane próby poprawnego rozpisania wzoru (fakt, że w moim przypadku nie robił on różnicy, bo pierwszy czynnik jest już wielokrotnością 13, jednak chyba nikt nie chce mieć błędów w zapisie). Czasem na błędy w odpowiedziach można przymknąć oko jeśli nie zgadzają się jedynie wyniki, ale żeby podawać złe wzory to już przesada, przynajmniej moim zdaniem. Dzięki za pomoc :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 wrz 2011, o 23:26 
Użytkownik

Posty: 3426
Lokalizacja: Szczecin
to juz bylo widac, podstaw n=2 i wzor ten sypie sie co podalas :)

-- 20 września 2011, 00:28 --

wiec zawsze trzeba uwazac co daja w podpowiedziach, bo drukarz nie matematyk, wiec chochlika moze zrobic :)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 20 wrz 2011, o 06:30 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 208
Lokalizacja: Polska
podstawiłam, ale i tak uważałam, że co jak co, ale wzór to chyba dobrze skopiowali i pewnie robię jakiś idiotyczny błąd nie wiadomo gdzie. To się chyba nazywa brak wiary w siebie... :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 wrz 2011, o 18:21 
Użytkownik

Posty: 126
Lokalizacja: Kraków
A nie łatwiej tak?... :)

29 \equiv 3 \ (mod \ 13)

29^{11} \equiv 3^{11} \ (mod \ 13)

29^{11} - 3^{11} \equiv 0 \ (mod \ 13)

Jeśli x przystaje do 0 mod n, to znaczy, że jest podzielne przez n, gdyż n | x - 0 co jest równoważne n | x.

Co to jest i skąd to wziąłem wyjaśnione w świetnym dziele Sierpińskiego:
http://matwbn.icm.edu.pl/kstresc.php?tom=19&wyd=10
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 wrz 2011, o 18:24 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2909
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Łatwiej, jednak zdecydowanie więcej uczniów zna wzór a^n-b^n = (a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+b^{n-1}) niż kongruencje..
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 21 wrz 2011, o 17:58 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 208
Lokalizacja: Polska
Muszę sobie porządnie przypomnieć kongruencje, moja pamięć jest dobra, lecz krótka... ;) Wielkie dzięki za linka, schleswig. Przyda się w najbliższej przyszłości. A czy możliwe jest udwodnienie, że 3 + 3 ^{2} + 3 ^{3} + ... + 3 ^{100} jest podzielne przez 4 korzystając z modulo?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 wrz 2011, o 18:02 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2909
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Tak:

3+3^2+...+3^{100} \equiv (-1) + (-1)^2 + (-1)^3 +... + (-1)^{100} \equiv 0 \pmod{4}
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 21 wrz 2011, o 22:41 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 208
Lokalizacja: Polska
Czyli najpierw dodałeś stronami 100 kongruencji, a potem obliczyłeś wartość drugiej sumy (z potęgami -1), która przystawała do 0 (mod 4) i dlatego pierwsza suma (z potęgami 3) jest podzielna przez 4, dobrze interpretuję?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 wrz 2011, o 22:49 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2909
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Tak, po prostu zauważyłem, że:

3 \equiv -1 \pmod{4}

Skąd 3^{2k} \equiv (-1)^{2k} \equiv 1\pmod{4} \wedge 3^{2k+1} \equiv (-1)^{2k+1} \equiv -1 \pmod{4}

Czyli 3 do parzystej potęgi przystaje do 1 modulo 4, a 3 do nieparzystej potęgi przystaje do -1, można jak piszesz stworzyć teraz 100 układów równań i wszystko dodać stronami, ale nie trzeba tego tak rozpisywać, wystarczy napisać jak w poprzednim poście pokazałem :)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 21 wrz 2011, o 22:54 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 208
Lokalizacja: Polska
Ok, dzięki wielkie za pomoc :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 wrz 2011, o 23:43 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6485
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Tej sumy nie trzeba liczyć bo wiadomo że jest całkowita a pierwszy czynnik jest już podzielny przez 13
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 16 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wykaż, że liczba jest podzielna przez 19 - zadanie 2  v_vizis  3
 Wykaż, że liczba jest podzielna przez 19  kacpr90  3
 (3 zadania) Wykaż, że liczby są podzielne przez ...  Anonymous  5
 Sprawdz czy liczba jest złożona  Anonymous  6
 (4 zadania) Sprawdz podzielność liczb przez 10  Anonymous  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl