szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 wrz 2011, o 16:16 
Użytkownik

Posty: 75
Witam. W jaki sposób można rozwiązać równanie typu:

3 ^{x}  \cdot  x = 18

Nie mam pojęcia, co mógłbym zrobić z tą potęgą. Czytałem, że coś takiego można obliczyć z funkcji W Lamberta, jednak jestem jeszcze zbyt niedokształcony by bawić się w takie rzeczy ;) Istnieje jakaś prostsza metoda?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 wrz 2011, o 17:56 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 6500
Lokalizacja: Kraków
Zauważ, że x=2 spełnia to równanie.

Z prawej strony mamy funkcję stałą. Z lewej natomiast funkcję silnie rosnącą. Zatem x=2 jest jedynym rozwiązaniem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 wrz 2011, o 18:15 
Użytkownik

Posty: 548
Lokalizacja: Warszawa
Oj rosnąca to ona nie jest w całej swojej dziedzinie. Pochodna:

(3^x \cdot x)'=3^x(x\ln3+1)

zeruje się dla x= \frac{-1}{\ln3}, i łatwo sprawdzić, że w tym punkcie mamy minimum. Łatwo jednak zauważyć, że lewa strona jest dodatnia dla x>0 i ujemna dla x<0 co tłumaczy, dlaczego równanie ma 1 pierwiastek.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 wrz 2011, o 18:18 
Gość Specjalny

Posty: 5019
Lokalizacja: Warszawa
3 ^{x} \cdot x = 18

Łatwo zauważyć, że rozwiązanie będzie tylko dodatnie i nie będzie to zero. Dzielimy przez iks.

3 ^{x} =  \frac{18}{x}

Z lewej mamy funkcję wykładniczą, która jest silnie rosnąca, a z prawej mamy funkcję wymierną, ale obchodzi nas tylko prawa strona wykresu (bo x>0) i ta funkcja jest silnie malejąca. Także mogą się przeciąć tylko w jednym punkcie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 wrz 2011, o 18:20 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 6500
Lokalizacja: Kraków
chlorofil napisał(a):
Oj rosnąca to ona nie jest w całej swojej dziedzinie

Fakt, ale w sumie to wystarczy, żeby była ona rosnąca dla x \ge 0, bo dla x<0 wartości funkcji f(x)=3^x \cdot x są ujemne, a zatem dla nich równość 3^x \cdot x=18 nie zachodzi.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 23 wrz 2011, o 18:26 
Użytkownik

Posty: 16232
lub graficznie:
3 ^{x}  \cdot  x = 18

x \neq 0
3^x= \frac{18}{x}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Jak rozwiązać równanie?  gogoad  4
 równanie z parametrem - zadanie 12  basia  1
 Rownanie z dwiema niewiadomymi  cuube  1
 rownanie f okresowej  mol_ksiazkowy  2
 Krzywa i rownanie logistyczne <-- poszukuje materialow  xax82  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl