szukanie zaawansowane
 [ Posty: 23 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 paź 2011, o 14:47 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1764
Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
Witam. Mam świadomość, że tego typu zadanie już się na Forum pojawiło, aczkolwiek nie byłem w stanie doprowadzić swojego zadania do końca, które ma treść: Wykaż, że \sqrt{7} jest liczbą niewymierną. Chciałbym to udowodnić przez sprzeczność. Założyłem, że \sqrt{7} jest liczbą wymierną. Zapisuję go jako ułamek nieskracalny, czyli: \sqrt{7} =  \frac{m}{n}. Podejrzewam, że powinienem podnieść to do kwadratu, czyli 7 =  \frac{m ^{2} }{n ^{2} }. Ale co dalej? Proszę o wskazówki i pozdrawiam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 paź 2011, o 14:50 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 450
np. zobaczyć co się stanie jeżeli pomnożysz przez mianownik. Zastanów się wówczas nad liczbą "siódemek" w rozkładzie na czynniki pierwsze z lewej i prawej strony równania.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 paź 2011, o 14:54 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1764
Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
No i mam 7n^{2} = m^{2}. Zastanowić się nad liczbą siódemek, czyli zbadać czy liczba siedem jest pierwiastkiem równania?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 paź 2011, o 14:59 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4544
Lokalizacja: Wrocław
Zauważ, że skoro lewa strona dzieli się przez siedem (w sposób oczywisty - w iloczynie jest siódemka), to w takim razie prawa strona też musi.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 paź 2011, o 15:01 
Gość Specjalny

Posty: 5019
Lokalizacja: Warszawa
Możesz też utworzyć wielomian, gdzie pierwiastkiem jest \sqrt{7} i wykorzystując twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wykazać, że jest to liczba niewymierna.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 paź 2011, o 15:03 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1764
Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
Więc mogę napisać tak: (?)

7n ^{2} = m ^{2} /:(7)

n^{2} =  \frac{m^{2}}{7}

I rozwiązuję to co jest po prawej?

Czy takim wielomianem będzie: (x-7) ^{2}?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 paź 2011, o 15:05 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 450
Albo możesz np. zauważyć, że liczba "siódemek" po jednej stronie nieparzysta, a po drugiej parzysta.
Można jeszcze niewymierność pierwiastka udowodnić na kilka innych sposobów.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 paź 2011, o 15:05 
Gość Specjalny

Posty: 5019
Lokalizacja: Warszawa
Nie, wielomian będzie taki x= \sqrt{7}  \Leftrightarrow x^2=7  \Leftrightarrow x^2-7=0.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 paź 2011, o 15:10 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1764
Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
O faktycznie, wzór na różnicę kwadratów, machnąłem się niecelowo. Który ze sposobów jest najprostszy? I jak ruszyć to dalej w przypadku n^{2}=\frac{m^{2}}{7} i tego wielomianu? Co powinienem napisać?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 paź 2011, o 15:16 
Gość Specjalny

Posty: 5019
Lokalizacja: Warszawa
Zgodnie z twierdzeniem o pierwiastkach wymiernych wielomianu, jedynymi możliwymi pierwiastkami wymiernymi są: \pm 7 i \pm 1, jednak żaden z tych pierwiastków nie jest rozwiązaniem tego wielomianu. Wiemy, że wielomian ma pierwiastek \sqrt{7}, stąd dowód, że jest to liczba niewymierna.

Pogrubione najważniejsze słowo.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 paź 2011, o 15:21 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1764
Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
No okej, wiem o co chodzi bo tak na dobrą sprawę to te twierdzenie miałem kilka dni temu na lekcji. Pytanie brzmi: jak mam to zapisać, aby był to dowód? Mam rozłożyć ten dwumian na czynniki?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 paź 2011, o 15:23 
Gość Specjalny

Posty: 5019
Lokalizacja: Warszawa
To co napisałem jest dowodem ...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 paź 2011, o 15:25 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1764
Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
No dobra, to mam jeden. A jak dokończyć tamten z ułamkiem?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 paź 2011, o 18:14 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4544
Lokalizacja: Wrocław
Doprowadzasz do postaci:
7n^2 = m^2
Lewa strona jest w oczywisty sposób podzielna przez siedem, więc prawa też musi być. Skoro tak, to m też musi być podzielne przez siedem. Można więc je przedstawić jako m = 7k, \; k \in \mathbb{Z}. Po podstawieniu:
7n^2 = 49k^2 \\ n^2 = 7k^2
I znowu analogiczne rozumowanie doprowadza nas do wniosku, że n musi być podzielne przez siedem.
Ale zaraz! Skoro i n, i m są podzielne przez siedem, to ułamek \frac{n}{m} nie jest nieskracalny. Otrzymujemy zatem sprzeczność z założeniem, tak więc \sqrt{7} \notin \mathbb{Q}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 paź 2011, o 19:35 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1764
Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
Więc mogę zapisać, że n = 7p, potem zapisać w ułamku obie cyfry po podniesieniu (7p) ^{2}, pokazać, że się skrócą i w ten sposób pokazać sprzeczność z założeniem?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 23 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Dowód niewymierności liczby  Jurkins  3
 Dowód niewymierności liczby - zadanie 2  tranto  1
 Dowód niewymierności liczby - zadanie 4  marek252  5
 (3 zadania) Wykaż, że liczby są podzielne przez ...  Anonymous  5
 Udowodnij twierdzenie. Podzielność liczby przez 11  Anonymous  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl