szukanie zaawansowane
 [ Posty: 15 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 8 paź 2011, o 19:51 
Użytkownik

Posty: 85
Lokalizacja: podkarpackie
Wiem, że temat już był poruszany na forum, jednak mimo przeanalizowania tamtych postów nadal mam problem z częścią zadania:
jak wykazać w najłatwiejszy sposób, że iloczyn 5n(n+1)(n^{2}+n+1) jest podzielny przez 30.
Wiem jak wykazać, że jest podzielny przez 5 i przez 2 ale nie wiem jak wykazać, że jest podzielny przez 3.
Proszę o wskazówkę


Mam jeszcze jedno pytanie:
Udowodnić indukcyjnie, ze 3| 2^{2n}+5dla każdego n naturalnego
wykazałam, że dla n=1 własność jest prawdziwa, potem zakładam że dla n=k prawdziwe jest założenie indukcyjne 3|2^{2k}+5co wykorzystuję dowodząc tezy 3| 2^{2(k+1)}+5
Doszłam na samym końcu do tego że mam 4(2^{2k}+5)-15. Pierwszy składnik 4(2^{2k}+5) jest podzielny przez 3 z założenia, natomiast czy mogę powiedzieć, że -15 jest podzielne przez 3? Może głupie pytanie, ale ten minus mnie straszy.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 paź 2011, o 19:57 
Moderator

Posty: 4435
Lokalizacja: Łódź
W celu stwierdzenia podzielności liczby przez 3, rozważ wszystkie możliwe reszty z dzielenia liczby n przez 3 i w każdym przypadku spróbuj dowieść, że przynajmniej jeden z czynników jest podzielny przez 3.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 8 paź 2011, o 20:02 
Użytkownik

Posty: 85
Lokalizacja: podkarpackie
Wiem, że w taki sposób się to robi, ale miałam nadzieję że jest łatwiejsza droga.
Nie bardzo wiem, w jaki sposób rozpisuje się te możliwe reszty z dzielenia przez 3. Wiem że wynoszą one 0, 1 i 2 ale co dalej?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 8 paź 2011, o 20:18 
Użytkownik

Posty: 16231
3| 2^{2n}+5

2.
n=k
2^{2k}+5=3a, a\in N
2^{2k}=3a-5

3.
n=k+1
2^{2(k+1)}+5=3b

2^{2(k+1)}+5=2^{2k+2}+5=4 \cdot 2^{2k}+5=4 \cdot (3a-5)+5=12a-20+5=12a-15=3(4a-5)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 8 paź 2011, o 20:37 
Użytkownik

Posty: 85
Lokalizacja: podkarpackie
Dziękuję anna_ , bardzo mi pomogłaś. Myślę, że jeśli zamiast 3a-5 wstawię samo 3a za całe wyrażenie 2^{2k}+5 i otrzymam 4 \cdot 3a-15 = 12a-15 = 3(4a-5) to też będzie dobrze.
Dziękuję jeszcze raz, bo jestem samoukiem odnośnie indukcji matematycznej i te oczywiste rzeczy dopiero odkrywam.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 8 paź 2011, o 20:39 
Użytkownik

Posty: 16231
Nie możesz wstawić samego 3a, bo 2^{2k}=3a-5, a nie 2^{2k}=3a
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 8 paź 2011, o 20:55 
Użytkownik

Posty: 85
Lokalizacja: podkarpackie
wiem, ale ja chce wstawić 3a nie za 2^{2k} ale w miejsce wyrażenia 2^{2k}+5
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 8 paź 2011, o 21:03 
Użytkownik

Posty: 16231
W dowodzie nia ma 2^{2k}+5, jest 4 \cdot 2^{2k}+5, a to nie to samo co
4 \cdot( 2^{2k}+5)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 paź 2011, o 21:06 
Administrator

Posty: 21187
Lokalizacja: Wrocław
Fatina napisał(a):
jak wykazać w najłatwiejszy sposób, że iloczyn 5n(n+1)(n^{2}+n+1) jest podzielny przez 30.

5n(n+1)(n^{2}+n+1)=5n(n+1)(n^{2}-2n+1+3n)=5n(n+1)((n-1)^2+3n)=\\
=5n(n+1)(n-1)^2+15n^2(n+1).

I teraz podobnie jak tutaj.

JK
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 8 paź 2011, o 21:16 
Użytkownik

Posty: 85
Lokalizacja: podkarpackie
anna_ napisał(a):
W dowodzie nia ma 2^{2k}+5, jest 4 \cdot 2^{2k}+5, a to nie to samo co
4 \cdot( 2^{2k}+5)


No wiem, że nie ma, ale jak sobie wcześniej przekształcę 4 \cdot 2^{2k}+5, czyli wyciągnę czwórkę przed nawias i napiszę 4(2^{2k}+5)-15 i dopiero wtedy wykorzystam założenie indukcyjne, to nie może tak być?
Tak jak pisałam, uczę się tego sama i robię intuicyjnie. Proszę mnie poprawić, dlaczego źle myślę, jeśli ma Pani jeszcze do mnie cierpliwość :)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 8 paź 2011, o 21:19 
Użytkownik

Posty: 16231
jak wyciągniesz 4 to otrzymasz
4 \cdot 2^{2k}+5=4 \cdot (2^{2k}+ \frac{5}{4} )
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 8 paź 2011, o 21:27 
Użytkownik

Posty: 85
Lokalizacja: podkarpackie
ja nie wiem jak się to nazywa - "uzupełnianie", "dopełnianie" czy jak, ale chodzi mi o to, żeby mimo tego że wyciągnę 4 przed nawias to gdybym potem wymnożyła wszystko przez tą czwórkę, to otrzymam to co na początku, tzn.:
4*2^{2k}+5=4(2^{2k}+5)-15 bo po wymnożeniu dostaję z powrotem 4*2^{2k}-20+15 = 4*2^{2k}+5 dlatego myślałam że robię dobrze.

O tym "uzupełnianiu" czy jakoś tak przeczytałam gdzieś tu na forum.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 8 paź 2011, o 21:47 
Użytkownik

Posty: 16231
Ok, już rozumiem o co chodzi :D
Wtedy zapis będzie taki:

3| 2^{2n}+5

2.
n=k
2^{2k}+5=3a, a\in N

3.
n=k+1
2^{2(k+1)}+5=3b

2^{2(k+1)}+5=2^{2k+2}+5=4 \cdot 2^{2k}+5=4 \cdot 2^{2k}+20-15=4 \cdot (2^{2k}+5)-15=4 \cdot 3a-15=3(4a-5)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 8 paź 2011, o 22:07 
Użytkownik

Posty: 85
Lokalizacja: podkarpackie
Ufff.. czyli jeszcze nie jest ze mną tak źle ;P

Dziękuję za pomoc serdecznie.
Jeszcze mam kilkanaście innych zadań na dowodzenie indukcyjne, których nie potrafię rozgryźć. Pewnie rządzą się jakąś prostą zasadą, ale stawiam pierwsze kroki w tym temacie.
Dziś już nie mam śmiałości prosić o pomoc, bo jest późno .
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 8 paź 2011, o 22:10 
Użytkownik

Posty: 16231
Dawaj, jestem nocnym markiem :D

Tylko załóż nowy topik
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 15 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Podzielnosc przez 7 - dowod  mat0  6
 Liczby w zbiorze podzielne przez 3,7,9  StanislawB  24
 Wykaż, że liczba jest podzielna przez 6  karol123  15
 Wykazać podzielność przez sześć. - zadanie 3  olgga  5
 Cecha podzielności przez 7 - zadanie 2  leszczu450  14
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl