szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 9 paź 2011, o 15:13 
Użytkownik

Posty: 24
Lokalizacja: Warszawa
Mam udowodnić indukcyjnie kilka wzorów i wśród nich znalazły się nierówności. Z normalnymi wzorami idzie mi dobrze i umiem podstawić, ale nierówności nie rozumiem.
Czy mógłby ktoś rozwiązać/wytłumaczyć 3 przykłady, których właśnie nie mogę zrobić?

1. 1+ \frac{1}{ \sqrt{2} }+\frac{1}{ \sqrt{3} }+...+\frac{1}{ \sqrt{n} }> \sqrt{n}

2. n ^{3} < 4 ^{n}

3. 3 ^{n} >n2 ^{2n}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 paź 2011, o 15:18 
Użytkownik

Posty: 35
Lokalizacja: Wrocław
Podpinam się pod temat, mam ten sam problem dochodzę do momentu kiedy mam policzyć i nie wiem w jaki sposób mam zapisać działanie np.

n ^{3}<4 ^{n}

Policz: n ^{3}+(n+1)^{3}<4 ^{n}+4 ^{n+1}

Tak to się robi?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2013, o 16:25 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 561
Lokalizacja: Wrocław (UWr) / Pułtusk
n^{3} < 4^{n}
rozwiązując tego typu zadanie powinieneś mieć gdzieś na boku napisane dla jakiego n, ale spoko spróbujemy to udowodnić.

Najpierw sprawdzamy czy nierówność ta jest spełniona dla jakiejś konkretnej liczby n_{0}=1
Podstawiając do wzoru widzimy iż jest to prawdą :)

Teraz zakładam prawdziwość założenia, że: dla dowolnej liczby k takiej, że k  \ge n_{0} nierówność ta będzie prawdziwa. W rezultacie otrzymujemy:

k^{3} < 4^{k}
To jest właśnie założenie indukcyjne.
Następnie udowadniamy, iż prawdą będzie:
(k+1)^{3} < 4^{k+1}

Teraz trzeba zauważyć pewną rzecz, jakby powiązać założenie z tezą :) Mianowicie...
4^{k+1}=4^{k} \cdot 4 na mocy praw działań na potęgach.
Wcześniej coś ustaliliśmy :D chodzi mi o to: 4^{k} > k^{3}
Więc możemy zapisać, że 4^{k+1} > 4k^{3}
Celem tego zadania jest to, aby dowieść iż te 4^{k+1} > (k+1)^{3}
Ale to zostawiam już dla waszej satysfakcji :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 indukcja nierówności  Pshczoolka  6
 Indukcja matematyczna z zastosowaniem nierówności B.  banja  2
 indukcja matematyczna - nierówność  FEMO  3
 indukcja matematyczna - zadanie 53  andrzej9555  1
 gra - indukcja matematyczna  Annoyer13  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl