szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 paź 2011, o 23:18 
Użytkownik

Posty: 89
Lokalizacja: Polska
Witam!
Serdecznie proszę o pomoc przy zadaniu o następującej treści:
Boki trójąta ABC mają długości \left| AB\right|=\left| BC\right|=20, \left|AB \right|=12:
a)Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w tej trójkąt
b)Oblicz iloraz \frac{\left| AK\right| }{\left| KC\right| }, gdzie K jest punktem styczności ramienia AC z okręgiem wpisanym w trójkąt ABC
c)Oblicz długość odcinka KL, gdzie L jest punktem styczności ramienia BC okręgiem wpisanym w trójkąt ABC
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 paź 2011, o 00:58 
Użytkownik

Posty: 636
Lokalizacja: Ruda Śląska
\left| AB\right|=20 \mbox{ czy } 12\mbox{ ?}

-- 10 paź 2011, o 11:23 --

Zakładam, że miało być tak: \left| AC\right|=\left| BC\right|=20, \left|AB \right|=12.

a)
r= \frac{P_{ABC}}{p}\\
P_{ABC} =  \frac{1}{2}\left|AB \right| h \\
p= \frac{\left| AB\right|+\left| AC\right|+\left| BC\right|}{2} \\
p= \frac{12+20+20}{2}=23 \\
h= \sqrt{\left| AC\right|^2- \left( \frac{1}{2}\left| AB\right|\right) ^2 } \\
h= \sqrt{20^2-6^2}= \sqrt{364}=2 \sqrt{91}\\
P_{ABC}= \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 2 \sqrt{91} =12\sqrt{91}\\
r= \frac{12\sqrt{91}}{23}

b)
Niech środek okręgu będzie oznaczony przez O, a punkt styczności okręgu z podstawą \left|AB \right| przez M. Wtedy otrzymamy dwa trójkąty prostokątne AKO i AMO. W obu trójkątach bok AO jest przeciwprostokątną, a boki KO i MO są promieniami okręgu. Czyli AK = AM. Punkt M dzieli podstawę trójkąta ABC na połowę. Czyli \left| AM\right|= \frac{12}{2} =6=\left| AK\right|.\left| KC\right| =20-6=14.
\frac{\left| AK\right|}{\left| KC\right| }= \frac{6}{14}= \frac{3}{7}

c)
Zauważmy, że \left| CK\right| =\left| CL\right| oraz \left| KO\right| =\left| LO\right|. Czyli mamy dwa identyczne trójkąty prostokątne. Oznaczmy odcinek \left| KL\right| =2x. Wzory na pole trójkąta KOC:
P_{KOC}= \frac{1}{2}\left| KC\right|  \cdot  \left| KO\right| \\
P_{KOC}= \frac{1}{2}\left| CO\right| x
Dzięki czemu otrzymujemy równanie:
\frac{1}{2}\left| KC\right|  \cdot  \left| KO\right|=\frac{1}{2}\left| CO\right| x\\
\left| KC\right|  \cdot  \left| KO\right|=\left| CO\right| x\\
14 \cdot \frac{12\sqrt{91}}{23}=\left( 2 \sqrt{91}-\frac{12\sqrt{91}}{23}\right) x\\
14 \cdot \frac{12\sqrt{91}}{23}=2 \sqrt{91}\left( 1-\frac{6}{23}\right) x\\
14 \cdot \frac{6}{23}=\left( 1-\frac{6}{23}\right) x\\
 \frac{84}{23}= \frac{17}{23}  x\\
x= \frac{84}{17} \\
\left| KL\right| =2\cdot \frac{84}{17}=\frac{168}{17}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Trójkąt opisany na okręgu - zadanie 5  zyga37  1
 trójkąt opisany na okręgu - zadanie 3  robin5hood  1
 trójkąt opisany na okręgu - zadanie 2  stefan5566  2
 trójkąt opisany na okręgu  konrad1320  1
 Trójkąt opisany na okręgu - zadanie 7  prs613  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl