szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 paź 2011, o 13:34 
Użytkownik

Posty: 184
Lokalizacja: Kraków
a _{2} = 4
a _{3} = 7
a _{4} = 11
a _{5} = 16
a _{6} = 22
a _{7} = 29

wzór rekurencyjny jest
a _{1} = 2
a _{n+1} = a _{n} + n +1

Żeby wyznaczyć wzór w zależności od n to trzeba zgadywać, czy jest może jakaś metoda?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 paź 2011, o 15:19 
Użytkownik

Posty: 548
Lokalizacja: Warszawa
Licząc kolejne różnice pomiędzy wyrazami, a potem różnice pomiędzy tymi różnicami, aż dojdziemy do ciągu stałego. Jeśli taka sytuacja nastąpi, to wzorem ogólnym ciągu jest wielomian, o stopniu równym liczbie "poziomów" rozpisanych ciągów.

Ilustracja dla tego przykładu:

2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, ... - wyrazy ciągu
2, 3, 4, 5, 6, 7, ... - pierwszy ciąg różnic (4-2=2, 7-4=3, itd.)
1, 1, 1, 1, 1, ... - drugi ciąg różnic

Wynika stąd, że ciąg będzie miał wzór ogólny: a_n=an^2+bn+c

Teraz układamy 3 równania z 3 niewiadomymi a, b, c:

\begin{cases} a_1 = 2 \\ a_2=4 \\ a_3 = 7 \end{cases}

czyli:

\begin{cases} a+b+c=2 \\ 4a + 2b + c = 4 \\ 9a + 3b + c = 7 \end{cases}

Rozwiązując ten układ dostajemy wzór ogólny na nasz ciąg:

a_n = \frac{n^2}{2} + \frac{n}{2} + 1
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 paź 2011, o 19:46 
Użytkownik

Posty: 184
Lokalizacja: Kraków
Ten algorytm ma jakąś nazwę?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 paź 2011, o 11:06 
Użytkownik

Posty: 548
Lokalizacja: Warszawa
Szczerze mówiąc nie wiem... Ja przypominam go sobie, kiedy, będąc jeszcze licealistą, znalazłem go w książce "Czym zajmuje się teoria liczb" Sierpińskiego:
http://catalog.hathitrust.org/Record/000424503

Nie wiem, czy łatwo będzie znaleźć tę książkę, ale było w niej sporo różnych fajnych pomysłów opisanych.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 kwi 2015, o 16:42 
Użytkownik

Posty: 1
Lokalizacja: Katowice
Chciałbym odświeżyć troche temat.
Od razu zaznaczam, że nie udało mi się zdobyć nigdzie ksiązki opisanej w poście powyżej.

W moim przykładzie wygląda to tak:

a_{2}=5
a_{3}=15
a_{4}=37
a_{5}=83
a_{6}=177

wzór rekurencyjny:
a_{1}=1
a_{n+1}= 2a_{n}+2n-1

1,5,15,37,83,177, ... - wyrazy ciągu
4,10,22,46,94,190, ... - pierwszy ciąg różnic
6,12,24,48,96, ... - drugi ciąg różnic
6,12,24,48, ... - trzeci ciąg różnic

itd

Z pewnego nieopisanego źródła wiem, że ciąg będzie miał wzór ogolny: a_{n}= a2^{n}+bn+c

Po wyliczeniu układu równań wychodzi

a=3

b=-2

c=-3

czyli a_{n}=3 \cdot  2^{n}-2n-3

i faktycznie się zgadza, przykład:
a_{4}=3  \cdot  2^{4}-2 \cdot 4-3= 48 - 11 = 37

Moje pytanie brzmi, skąd wiadomo, że ten wzór ogólny powinien mieć taka postać?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wyznaczanie wzoru na ogólny wyraz ciągu.  metamatyk  9
 Wzór na wyraz ogólny ciągu Fibbonaci'ego  metamatyk  2
 Oblicz 5 pierwszych wyrazów określonego ciągu  Anonymous  1
 udowodnij wzór  Anonymous  1
 ilość wyrazów ciągu mniejszych od x  no4b  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl