szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 paź 2011, o 21:14 
Użytkownik

Posty: 21
Lokalizacja: Myszków
Witam,

Wykaż, że:
'liczba n^{5} + 4n jest podzielna przez 5

Ustaliłem, że n_{o}=1.

Teza:
k^{5}+4k=5c

Dowód (dla  n=k+1):
(k+1)^{5}+4(k+1)=k^{5}+4k+5k^{4}+ 10k^{3}+10k^{2}+5k+5= 5c+5(k^{4}+2k^{3}+2k^{2}+k+1)=5(c+k^{4}+2k^{3}+2k^{2}+k+1)

d=c+k^{4}+2k^{3}+2k^{2}+k+1, a więc wykazałem podzielność.

Czy to rozwiązanie jest poprawne? Czy da się to zrobić jakoś prościej, nie wymnażając tego (k+1)^{5}? W razie czego proszę mnie poprawić :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 paź 2011, o 21:18 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18427
Lokalizacja: Cieszyn
Bez indukcji też to się da zrobić, jeszcze łatwiej, analizując reszty z dzielenia przez 5. Mamy liczbę n(n^4+4). Więc jeśli samo n jest podzielne przez 5, to OK. Jeśli daje resztę 1, to n^4 też i cała liczba jest podzielna przez 5. Itd. można zanalizować kolejne reszty. Wyjdzie, że n^4 jest albo podzielne przez 5, albo daje resztę 1.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 paź 2011, o 21:20 
Użytkownik

Posty: 21
Lokalizacja: Myszków
Dobrze wiedzieć, ale w zadaniu było zaznaczone, że trzeba wykorzystać zasadę indukcji matematycznej ;) Generalnie przykład jest dobrze rozwiązany?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 paź 2011, o 21:37 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18427
Lokalizacja: Cieszyn
Nie sprawdzałem. Zostawiam to młodszym kolegom :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 paź 2011, o 21:51 
Administrator

Posty: 22719
Lokalizacja: Wrocław
szw1710 napisał(a):
Zostawiam to młodszym kolegom :)

Wypadło na mnie... :lol:

Krok indukcyjny poprawnie, natomiast krok pierwszy trochę mnie niepokoi.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 paź 2011, o 22:05 
Użytkownik

Posty: 21
Lokalizacja: Myszków
Czyli założeniem powinno być n_{o}=0?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 paź 2011, o 22:22 
Administrator

Posty: 22719
Lokalizacja: Wrocław
To zależy, od czego zaczynasz indukcję, ale żeby dowód był poprawny, to ten krok trzeba wykonać, a Ty tego nie zrobiłeś.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 paź 2011, o 22:54 
Użytkownik

Posty: 21
Lokalizacja: Myszków
Hmm, w zasadzie to gdy n _{o}=0, to n^{5}+4n=0, więc 0=5c  \Rightarrow c=0. Czyli jednak powinienem zacząć od n_{o}=0, nie mylę się teraz?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 paź 2011, o 22:57 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4544
Lokalizacja: Wrocław
Możesz - i nawet, moim zdaniem, powinieneś. Przy czym rozpoczęcie od n_0 = 1 błędem nie jest.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 paź 2011, o 23:00 
Użytkownik

Posty: 21
Lokalizacja: Myszków
Ale jak już robić, to od początku porządnie i dokładnie. Dziękuję za pomoc i sprawdzenie przykładu ;)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zadania z indukcji - zadanie 3  Zahion  11
 Kolokwium z indukcji.  coder89  7
 Indukcja matematyczna udowodnij podzielnosc  murek1993  5
 indukcja- podzielność  Serphis  4
 Prosty Dowód... Podzielnosc Przez 5  123456  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl