szukanie zaawansowane
 [ Posty: 12 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 paź 2011, o 18:17 
Użytkownik

Posty: 126
Lokalizacja: Kraków
Dostałem takie dwa zadania i nie mogę wpaść na pomysł, jak to rozwiązać.

Wykaż, że w dowolnym trójkącie ostrokątnym dla dowolnego punktu K znajdującego się wewnątrz trójkąta suma odległości tego punktu od wszystkich trzech boków jest równa sumie długości promienia okręgu wpisanego i promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.

Z góry dzięki za pomoc. :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 paź 2011, o 18:23 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
schleswig napisał(a):
Wykaż, że w dowolnym trójkącie ostrokątnym dla dowolnego punktu K znajdującego się wewnątrz trójkąta suma odległości tego punktu od wszystkich trzech boków jest równa sumie długości promienia okręgu wpisanego i promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.
Ale to przecież nieprawda.

Q.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 12 paź 2011, o 18:55 
Użytkownik

Posty: 16232
Gdzie to drugie zadanie?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 paź 2011, o 19:22 
Użytkownik

Posty: 126
Lokalizacja: Kraków
A, już. Właśnie się zorientowałem, że go nie podałem. :)

Wydaje się dziwnie banalne, więc wolę zapytać...

Obrazek

A jest środkiem okręgu opisanego na \triangle BCD. E leży na okręgu.
Długości boków jak podane na rysunku. EB jest dwusieczną \sphericalangle DBC. Jeśli dobrze pamiętam, to przy takim ustawieniu B, A, E są współliniowe (chociaż nie ma tego na rysunku, gdyż nie jestem pewien). Mam wykazać, że AB = AE.

I tu pojawia się banalne rozwiązanie. Skoro B i E leżą na okręgu (B gdyż jest wierzchołkiem trójkąta, na którym opisany jest okrąg, a K - z treści zadania), to odległość każdego punktu na okręgu od jego środka jest równa (z def. okręgu).

Co do pierwszego zadania: dokładnie takie dostałem...
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 12 paź 2011, o 21:52 
Użytkownik

Posty: 16232
2.

Gdzie jest punkt K?


Dla dowolnych a i k, punkty B, A, E nie będą współlinowe (chociaż pewnie przy pewnych a i k będzie to miało miejsce), ale zadanie rzeczywiście jest banalne. Skoro B i E leżą na okręgu, a A jest środkiem okręgu, to AB = AE.


(np w trójkącie o bokach 10,11,12 (a=10, k=1). Punkty B,A,E nie są współliniowe.)

1.
Narysowałm sobie dowolny trójkąt ostrokątny i pomierzyłam te odcinki, o których mowa w zadaniu. Wychodzi sprzeczność. (pomiary pewnie nie były zbyt dokładne, ale różnica jest zbyt duża)

-- dzisiaj, o 22:58 --

Kurcze, gdzie jest punkt K?
Może lepiej podaj dokładną treść zadania 2.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 paź 2011, o 22:06 
Użytkownik

Posty: 126
Lokalizacja: Kraków
Mój błąd. Nie K, tylko [del]A[/del] E.
Dokładnej treści zadania niestety nie mam, staram się odtworzyć na podstawie rysunków i własnej pamięci...
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 12 paź 2011, o 22:07 
Użytkownik

Posty: 16232
No to A nie może być środkiem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 paź 2011, o 22:12 
Użytkownik

Posty: 126
Lokalizacja: Kraków
Nie, nie, nie...
To E miało być. Przepraszam, mieszam za bardzo. :)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 12 paź 2011, o 22:16 
Użytkownik

Posty: 16232
E tam, pewnie coś namąciłeś :D
Długości boków tego trójkąta tworzą ciąg arytmetyczny.
Więc pewnie trzeba by to jakoś w rozwiązaniu zadania uwzględnić.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 paź 2011, o 22:28 
Użytkownik

Posty: 126
Lokalizacja: Kraków
Fakt.
Ale czy to coś zmienia dla rozwiązania?
W ogóle... zadanie jest za proste...
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 12 paź 2011, o 22:30 
Użytkownik

Posty: 16232
Trudno powiedzieć. Może trzeba było udowodnić równość innych odcinków.
Nalepiej dowiedz się jaka była dokłanie treść zadania.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 paź 2011, o 18:24 
Użytkownik

Posty: 126
Lokalizacja: Kraków
No jasne... Mówiłem, że było za łatwe. :)

Chodzi o to, że A nie jest środkiem okręgu opisanego, ale wpisanego. Wtedy, B, A, E muszą być współliniowe, bo z dwusiecznych wyznacza się środek okręgu.

Ale da się zrobić z twierdzenia Ptolemeusza i własności trójliścia (tak to przynajmniej u nas nazywają): DE = EA = EC
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 12 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zależność w trójkącie równoramiennym - zadanie 2  sYa_TPS  2
 Nierówność w trójkącie rozwartokątnym- sprawdzenie.  piotrek9299  2
 Związki miarowe w trójkącie...  PawcioIm  1
 Trójkąt (pole+promien opisany)  fino  5
 Środkowa w trójkącie  idziidzi  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl