szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 paź 2011, o 16:48 
Użytkownik

Posty: 122
Lokalizacja: woj. Mazowieckie
Jeśli mam funkcje określoną na zbiorze R przyjmującą wartości rzeczywiste , że dla dowolnych x,y należących do R :
f( f(2x) +f (x - 2y) ) - x = f( f(2x) + y) + 2f(x)
to czy mogę w tym równaniu pod y podstawić f(x-2y) , ale tylko w wybranych przeze mnie miejscach :
f( f(2x)+ f(x - 2y) ) - x = f( f(2x) + f(x-2y) ) + 2f(x)

2f(x) = -x

f(x) =  \frac{-x}{2}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 paź 2011, o 19:07 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17964
Lokalizacja: Cieszyn
Nie - musisz to zrobić konsekwentnie w każdym miejscu wystąpienia y. Tak byłoby zbyt łatwo. I... niepoprawnie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 paź 2011, o 16:42 
Użytkownik

Posty: 122
Lokalizacja: woj. Mazowieckie
Dlaczego muszę być konsekwentny przecież jak mam równanie to nie muszę podstawić pod każdą zmienną ???
Czy jeśli to równianie wyglądałoby tak to by coś zmieniło :
f( f(2x) +f (x - 2y) )  = f( f(2x) + y) + f(x)
wtedy znowu y = f(x - 2y)
i wychodzi
f(x) = 0

???
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 paź 2011, o 19:08 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17964
Lokalizacja: Cieszyn
Miałbyś

f(f(2x)+y)=f(f(2x)+f(x-2y))+f(x)

W miejscu każdego wystąpienia y musiałbys wstawić f(x-2y).

Jeśli będziesz wstawiał tak jak proponujesz, czyli selektywnie, to można będzie wykazać, że każda funkcja spełnia każde równanie funkcyjne.

Przykładowo, biorąc równanie funkcyjne

(1)\qquad f(x+y)=f(x)+f(y)

i wstawiając tylko po prawej w miejsce y wyrażenie x+y dochodzisz fo

f(x+y)=f(x)+f(x+y),

skąd

f(x)=0.

Oczywiście funkcja zerowa spełnia równanie (1).

Otrzymalibyśmy, że funkcja f spełnia równanie (1) wtedy i tylko wtedy, gdy jest funkcją zerową.

Jak to pogodzisz z faktem, że rozwiązaniami równania (1) są też wszystkie funkcje postaci f(x)=cx, a także jeszcze inne, o których nie będę mówił z uwagi na Twój wiek i związane z nim niewielkie doświadczenie. Dobrze: wymienię tylko hasło: nieciągłe funkcje addytywne, skonstruował je pierwszy Hamel w roku 1905.

Morał z tego jest taki, że podstawienia selektywne nie są poprawne.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 paź 2011, o 19:15 
Użytkownik

Posty: 122
Lokalizacja: woj. Mazowieckie
Wielkie dzięki za pomoc i wytłumaczenie :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 paź 2011, o 19:18 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17964
Lokalizacja: Cieszyn
Wiesz co to jest granica funkcji oraz funkcja ciągła? Jeśli tak, to wykaż, że funkcja ciągła f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} spełnia równanie (1) wtedy i tylko wtedy, gdy f(x)=cx dla pewnego c\in\mathbb{R}.

U kogoś, kto w wieku 16 lat pyta o równania funkcyjne należy podejrzewać znajomość wspomnianych rzeczy. Chyba że wiek to zmyłka :)

Przyjemnie mi było wytłumaczyć coś ze swojej działki.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Przekształcenie wykresu względem prostej o równaniu  Ruahyin  4
 Podstawianie w funkcjach, takie tam zależności.  GluEEE  18
 Ile punktów wspólnych ma prosta o równaniu  PeggySue  1
 Dwie funkcje w jednym równaniu.  ResGabriel12  4
 Prosta o równaniu... Funkcja homograficzna  micro  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl