szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 paź 2011, o 13:20 
Użytkownik

Posty: 38
Lokalizacja: Gdynia
Znajdź takie funkcje f, że f(x+y)  \cdot  f(x-y)=1 jest spełnione dla dowolnych liczb naturalnych x i y
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 paź 2011, o 21:07 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17956
Lokalizacja: Cieszyn
Jaka jest dziedzina i zbiór wartości postulowanej funkcji? Wbrew pozorom to ważne, aby wiedzieć jakie podstawienia są dozwolone. Np. mogę położyć x=y i od razu mamy f(2n)f(0)=1 i pytanie czy zero leży w dziedzinie naszej funkcji.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 paź 2011, o 21:11 
Użytkownik

Posty: 5105
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Skoro równanie ma być spełnione dla wszystkich x,y naturalnych, to 0 musi należeć do dziedziny f.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 paź 2011, o 21:13 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17956
Lokalizacja: Cieszyn
Nie bardzo. Naturalność zera jest, jak wiemy, kwestią umowy. Ale oprócz tego mamy pytanie, czy w roli y można wziąć np. -1, tj. czy liczby całkowite leżą w dziedzinie itp. Kwestia dziedziny i zbioru wartości jest ważna dla postaci rozwiązania. Każde równanie funkcyjne rozważamy w konkretnej dziedzinie z konkretną przeciwdziedziną.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 paź 2011, o 21:27 
Użytkownik

Posty: 5105
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Shusheiri napisał(a):
Znajdź takie funkcje f, że f(x+y)  \cdot  f(x-y)=1 jest spełnione dla dowolnych liczb naturalnych x i y


Naturalność zera jest kwestią umowną, ale na przykład naturalność jedynki jest bezdyskusyjna, więc możemy przyjąć x=y=1. Stąd otrzymujemy równość
f(2)f(0)=1,
z której w szczególności wynika, że f(0) istnienie.

Kwestia naturalności zera chyba nie ma znaczenia w tym zadaniu.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 paź 2011, o 21:29 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17956
Lokalizacja: Cieszyn
Znaczenie ma przynależność zera do dziedziny, ma to wpływ na stosowalność pewnych metod rozwiązywania równań funkcyjnych. Z tego, co piszesz, nie wynika, że f(0) istnieje. A jesli będziemy postulować f:\{1,2,3,\dots\}\to \mathbb{R}? Wtedy zapis f(0) jest nieuprawniony. To, że można napisać f(0) nie oznacza, że ten obiekt istnieje. Papier jest cierpliwy.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 paź 2011, o 21:42 
Użytkownik

Posty: 5105
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Jeśli f(0) nie istnieje, to nieprawdą jest, że równanie f(0)f(2)=1 jest spełnione. Również wtedy nieprawdą jest, że nierówność f(0)f(2)\neq1 jest spełniona. Po prostu obie te rzeczy nie mają sensu, więc tym bardziej nie są prawdziwymi zdaniami.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 paź 2011, o 21:52 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17956
Lokalizacja: Cieszyn
Czy zatem uprawnione jest podstawienie x=y=1? Bądź po prostu x=y? To zależy, czy zero leży w dziedzinie czy nie. Zero należy do dziedziny: można wstawić i otrzymamy f(2x)f(0)=1, skąd od razu f(2x)=\frac{1}{f(0)} i mamy wartości naszej funkcji na liczbach parzystych. Jeśli zero nie należy do dziedziny, nie można tego napisać.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 paź 2011, o 22:08 
Użytkownik

Posty: 5105
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
szw1710 napisał(a):
Zero należy do dziedziny: można wstawić i otrzymamy f(2x)f(0)=1,

Zwracam uwagę, że w poleceniu jest napisane, że równość ma zachodzić dla dowolnych x,y naturalnych.

A spieramy się o coś, co nie ma specjalnego znaczenia dla metody rozwiązania. W roli zera równie dobrze może występować dwójka.

f((n+2)+n)f((n+2)-n)=1,

skąd wynika, że f(4)=f(6)=f(8)=\ldots=\frac{1}{f(2)}.

Dodatkowo f(5+1)f(5-1)=1, co wobec równości f(4)=f(6) daje f(4)=\pm1. Na zbiorze \{2,4,6,\ldots\} funkcja f jest stale równa 1 albo -1.

Takie samo rozumowanie można przeprowadzić dla liczb nieparzystych.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 paź 2011, o 22:14 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17956
Lokalizacja: Cieszyn
Dobrze: skoro dla dowolnych liczb naturalnych, to można w różnicy zamienić rolami x i y, więc konieczne jest dopuszczenie w dziedzinie wszystkich liczb całkowitych, jeśli to wszystko ma mieć sens.

Zero to był tylko przykład. Podtrzymuję opinię o stosowalności metod. W innym wariancie (nierównoważnym) zadanie można sformułować tak: wyznaczyć wszystkie funkcje f:\mathbb{N}\to\mathbb{R} takie, że f(x+y)f(x-y)=1 dla wszystkich x,y\in\mathbb{N} takich, że x>y. Wtedy umawiając się, że zero nie jest liczbą naturalną, nie możemy napisać f(0). Ani też wstawić x=y.

PS. Muszę iść spać. Jutro idę na cały dzień do pracy. Do dyskusji wrócimy jutro wieczorem. Miłego czwartku.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Funkcja zaokrąglajaca  Anonymous  3
 Surjekcja (funkcja "na")  lucky36  1
 Funkcja z parametrem...  Finarfin  2
 Jaka to funkcja?  Anonymous  1
 Nowe pojęcie - funkcja cecha  jchris  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl