szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 paź 2011, o 11:49 
Użytkownik

Posty: 87
Lokalizacja: gostyń
hej mam problem z tym zadaniem może ktoś mi powiedzieć jak zbadać monotoniczność funkcji ... nie chodzi mi o definicje ale o wyjaśnieje bo definicje znam :
a)\  f(x)=4x-x ^{2}  \ \   \langle 2, \infty ) \\
b)\ \sqrt[3]{x} ,  \   x \in \mathbb{ R}\\
c)\ f(x)= \frac{1}{x ^{2} } +x ^{2}  , \ \ \langle 1 , \infty )

-- 23 paź 2011, o 13:13 --

w tym pierwszym myslalem zeby zrobic to tak :
bo jest to funkcja kwadratowa wiec obliczlem delte=16
i obliczyłem p=2 i nalezy sprawdzic jak jest on a w podanym zbiorze i wychodzi ze jest malejaca bo ramiona sa skierowane w dol ? czy tak mozna to zrobic ?

-- 23 paź 2011, o 13:26 --

czy w podpunkcji c) robiłem tak :
x _{2} > od x _{1}
x _{1} ,x _{2} \in R
x _{2} > x _{1}  \ge  1

f( x_{2} )- f(x _{1} ) =\frac{1}{ x _{2} ^{2}   } +x _{2}  ^{2} - \frac{1}{x _{1}  ^{2} } +x _{1}  ^{2}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 paź 2011, o 17:13 
Administrator

Posty: 21373
Lokalizacja: Wrocław
mikolajjgn napisał(a):
w tym pierwszym myslalem zeby zrobic to tak :
bo jest to funkcja kwadratowa wiec obliczlem delte=16
i obliczyłem p=2 i nalezy sprawdzic jak jest on a w podanym zbiorze i wychodzi ze jest malejaca bo ramiona sa skierowane w dol ? czy tak mozna to zrobic ?

Raczej nie, to jest słuszne spostrzeżenie, ale nie dowód.

To można udowodnić algebraicznie, zakładając, że x_1>x_2 i wnioskując stąd, że f(x_1)>f(x_2), wykorzystując we wnioskowaniu założenie o dziedzinie.

JK

PS. Delta to "\Delta": \Delta

edit: poprawa, przez pomyłkę napisałem o różnowartościowości, a nie o monotoniczności.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 paź 2011, o 19:35 
Użytkownik

Posty: 87
Lokalizacja: gostyń
hm czy poproawnie bedzie tak : ?
f( x_{1} )-f(x _{2}) mniejsz od 0

x _{1} -x _{2}mniejsze od 0

4x _{1} -x _{1}  ^{2} -(4x _{2} -x _{2}  ^{2} )=4x _{1} -x _{1} ^{2}  -4x _{2}  ^{2} +x _{2} ^{2}  =-x _{1}  ^{2}+x _{2} ^{2}

i teraz mozna stwierdzic ze jest ona malejaca tak ?

aha i chyba jeszcze musze napisac ze x _{1} ,x _{2} zależą do przedziału domkniętego od 2 do  \infty )
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 paź 2011, o 20:25 
Administrator

Posty: 21373
Lokalizacja: Wrocław
To nie jest dowód, tylko machanie rękami. Napisałeś wzór, niepoprawnie go przekształciłeś, doszedłeś do czegoś, co nic nie daje i stwierdziłeś ni z tego, ni z owego, że funkcja jest malejąca. Na jakiej podstawie?

Powinno być tak: Przypuśćmy, że x_1>x_2. Mamy

f(x_1)-f(x_2)=4x _{1} -x _{1}  ^{2} -(4x _{2} -x _{2}  ^{2} )=4(x_1-x_2)-(x_1^2-x_2^2)=\\
= 4(x_1-x_2)-(x_1-x_2)(x_1+x_2)=(x_1-x_2)(4-(x_1+x_2)).

Ale x_1-x_2>0. Ponadto x_1, x_2\ge 2, zatem x_1+x_2\ge 4 i równość zachodzi tylko dla x_1=x_2=2, czyli 4-(x_1+x_2)>0. Wobec tego (x_1-x_2)(4-(x_1+x_2))>0.

Pokazaliśmy zatem, że z założenia x_1>x_2 wynika, że f(x_1)>f(x_2), co oznacza, że funkcja jest rosnąca.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 paź 2011, o 08:34 
Użytkownik

Posty: 87
Lokalizacja: gostyń
ale ta funkcja miala byc malejaca
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 paź 2011, o 08:53 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1314
Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
Jan Kraszewski napisał(a):
...zatem x_1+x_2\ge 4 i równość zachodzi tylko dla x_1=x_2=2, czyli 4-(x_1+x_2)>0. Wobec tego (x_1-x_2)(4-(x_1+x_2))>0.


Funkcja jest malejąca w tym przedziale , w tych linijkach które zacytowałem trzeba znaki nierówności > zmienić na < i po sprawie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 paź 2011, o 09:56 
Administrator

Posty: 21373
Lokalizacja: Wrocław
Moja pomyłka w znakach, przepraszam. Powinno być istotnie

Cytuj:
Ale x_1-x_2>0. Ponadto x_1, x_2\ge 2, zatem x_1+x_2\ge 4 i równość zachodzi tylko dla x_1=x_2=2, czyli 4-(x_1+x_2)<0. Wobec tego (x_1-x_2)(4-(x_1+x_2))<0.

Pokazaliśmy zatem, że z założenia x_1>x_2 wynika, że f(x_1)<f(x_2), co oznacza, że funkcja jest malejąca.

JK
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 zbadaj monotonocznosc funkcji - zadanie 2  pacia1620  14
 Zbiór wartości funkcji  the moon  1
 Wykresy funkcji, srodek odcinka  1exam  4
 Dowód funkcji monotonicznej ujemnej  Anonymous  3
 Składanie i parzystość funkcji-2 zadania.  qkiz  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl