szukanie zaawansowane
 [ Posty: 15 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 paź 2011, o 19:21 
Użytkownik

Posty: 1559
Lokalizacja: Witaszyce
Funkcja f każdej liczbie rzeczywistej x przyporządkowuje najmniejszą liczbe nieujemną a taką, że x+a jest liczbą całkowitą podzielną przez 4. Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej n suma f(n)+f(n+1)+f(n+2)+f(n+3) ma stałą wartość.

Wiem: n,n+1,n+2,n+3 są to 4 kolejne liczby naturalne z czego na pewno jedna jest podzielna przez 4 a reszta liczb przy dzieleniu przez 4 dają odpowiednio reszty 1,2,3. I co dalej ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 paź 2011, o 21:57 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 7136
Lokalizacja: Ruda Śląska
Na upartego to możesz sprawdzić wszystkie możliwości, tj. np. 4|n i wtedy f(n)=0,\ f(n+1)=3 itd. Ewentualnie możesz pokazać, że funkcja g(n)=f(n)+f(n+1)+f(n+2)+f(n+3) jest okresowa.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 paź 2011, o 14:45 
Użytkownik

Posty: 1559
Lokalizacja: Witaszyce
Jak mam pokazać tą okresowość ? Rysując wykres ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 paź 2011, o 19:10 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 7136
Lokalizacja: Ruda Śląska
Raczej znajdując okres. Sprawdź czym różni się g(n) od g(n+1).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 paź 2011, o 19:53 
Użytkownik

Posty: 1559
Lokalizacja: Witaszyce
No tym że funkcja jest przesunięta o jeden w lewo dokładniej o wektor [-1,0]. O to chodzi ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 paź 2011, o 22:23 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 7136
Lokalizacja: Ruda Śląska
Nie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 paź 2011, o 07:28 
Użytkownik

Posty: 1559
Lokalizacja: Witaszyce
No to ja nie wiem jak sprawdzić czym to się różni.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 paź 2011, o 10:59 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 7136
Lokalizacja: Ruda Śląska
No ja bym zaczął od policzenia jednego i drugiego.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 paź 2011, o 11:23 
Użytkownik

Posty: 1559
Lokalizacja: Witaszyce
Prosze zacznij zadanie a ja je spróbuje skończyć. Funkcja jest okresowa gdy: f(x+t)=f(x) i (x+t) \in D _{f} dodanie do argumentu okresu t nie zmienia wartości funkcji. Tyle wiem o funkcji okresowej i że fragment wykresu się powtarza. Czyli g(n)=g(n+1) ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 paź 2011, o 13:20 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 7136
Lokalizacja: Ruda Śląska
major37 napisał(a):
Czyli g(n)=g(n+1) ?

A skąd to wiesz? Jak to udowodnisz to to jest koniec zadania, ale musisz to pokazać.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 paź 2011, o 13:32 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 4105
Lokalizacja: Poznań
major37 napisał(a):
Funkcja f każdej liczbie rzeczywistej x przyporządkowuje najmniejszą liczbe nieujemną a taką, że x+a jest liczbą całkowitą podzielną przez 4. Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej n suma f(n)+f(n+1)+f(n+2)+f(n+3) ma stałą wartość.

Wiem: n,n+1,n+2,n+3 są to 4 kolejne liczby naturalne z czego na pewno jedna jest podzielna przez 4 a reszta liczb przy dzieleniu przez 4 dają odpowiednio reszty 1,2,3. I co dalej ?


n  \in [0]_4  \Rightarrow a \in [0]_4 \\
n  \in [1]_4  \Rightarrow a \in [3]_4 \\
n  \in [2]_4  \Rightarrow a \in [2]_4 \\
n  \in [3]_4  \Rightarrow a \in [1]_4

korzystamy z
(1) [a]_4 + [b]_4 = [a+b]_4 \\
(2) n  \in [t]_4   \Leftrightarrow n+k  \in [t+k]_4

Zastosować dla tej sumy i tyle.

p.s. [x]_4 - klasa abstrakcji x \ \ mod \ \ 4
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 paź 2011, o 13:52 
Użytkownik

Posty: 1559
Lokalizacja: Witaszyce
Inkwizytor napisał(a):
major37 napisał(a):
Funkcja f każdej liczbie rzeczywistej x przyporządkowuje najmniejszą liczbe nieujemną a taką, że x+a jest liczbą całkowitą podzielną przez 4. Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej n suma f(n)+f(n+1)+f(n+2)+f(n+3) ma stałą wartość.

Wiem: n,n+1,n+2,n+3 są to 4 kolejne liczby naturalne z czego na pewno jedna jest podzielna przez 4 a reszta liczb przy dzieleniu przez 4 dają odpowiednio reszty 1,2,3. I co dalej ?


n  \in [0]_4  \Rightarrow a \in [0]_4 \\
n  \in [1]_4  \Rightarrow a \in [3]_4 \\
n  \in [2]_4  \Rightarrow a \in [2]_4 \\
n  \in [3]_4  \Rightarrow a \in [1]_4

korzystamy z
(1) [a]_4 + [b]_4 = [a+b]_4 \\
(2) n  \in [t]_4   \Leftrightarrow n+i  \in [t+i]_4

Zastosować dla tej sumy i tyle.

p.s. [x]_4 - klasa abstrakcji x mod 4



Ty to udowadniałeś z liczb zespolonych ? Bo widze tam i
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 paź 2011, o 18:49 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 4105
Lokalizacja: Poznań
Już poprawiłem na inną literkę by nie było wątpliwości ;)
Przy n naturalnych i zadaniach z podzielności wciąganie w to zespolonych nie ma przecież sensu.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 paź 2011, o 20:15 
Użytkownik

Posty: 1559
Lokalizacja: Witaszyce
Ja jestem na poziomie liceum. Nie przypominam sobie takiego czegoś jak mod O co chodzi ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 paź 2011, o 22:21 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 4105
Lokalizacja: Poznań
major37 napisał(a):
Ja jestem na poziomie liceum. Nie przypominam sobie takiego czegoś jak mod O co chodzi ?

To może inaczej:

Niech h(n) oznacza resztę z dzielenia n przez 4 dla n  \in \mathbb{N}, czyli
(1) h(n): \mathbb{N} \rightarrow \left\{ 0,1,2,3 \right\}
Ponadto łatwo zauważyć że:
(2) h(n) jest funkcją okresową, więc h(n) = h(n+4k) , \ \ k  \in \mathbb{Z}
stąd na podstawie (2) wynika że h(n) \neq h(n+1) \neq h(n+2) \neq h(n+3)
Na podstawie powyższego i punktu (1) wynika że każdej z h(n+i) dla i od 0 do 3 przypiszemy inną wartość spośród zbioru wartości funkcji h(n) czyli:
h(n)+ h(n+1) +h(n+2) + h(n+3) zawsze będzie równa sumie 0+1+2+3=6

--------------------------------------------------------------------------------------
Na podstawie powyższej definicji h(n) oraz definicji f(n) wynika że:
(3) h(n) + f(n) =  \begin{cases} 0 \ dla \ h(n)=0 \\ 4 \ dla \ h(n) \neq 0  \end{cases}
W dodatku (na podstawie zdania podkreślonego powyżej) wynika, że spośród wartości h(n+i) (dla i od 0 do 3) zawsze dokładnie jedna z nich będzie miała wartość 0.
Z tego wynika że h(n+i)+f(n+i) ZAWSZE w trzech przypadkach wyniesie 4, a w jednym 0.

(4) Zatem:
f(n)+h(n)+f(n+1)+h(n+1)+f(n+2)+h(n+2)+f(n+3)+h(n+3)=0+4+4+4=12

Stąd proste przekształcenie:
f(n)+f(n+1)+f(n+2)+f(n+3)=12 - \left[h(n)+h(n+1)+h(n+2)+h(n+3)\right]
czyli:
f(n)+f(n+1)+f(n+2)+f(n+3)=12 - 6 \\
f(n)+f(n+1)+f(n+2)+f(n+3)= 6
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 15 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Dla jakich wartości dziedzina funkcji to liczby rzeczywiste.  Spokojny_  1
 Obliczenie logarytmu liczby - zadanie 2  hubert92  2
 Wyznacz liczby rzeczywiste - zadanie 5  blondkarol  6
 funkcja dajaca liczby pierwsze  ostryo  11
 Funkcja f każdej liczbie parzystej przyporządkowuje liczbę  ipaz  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl