szukanie zaawansowane
 [ Posty: 20 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 paź 2011, o 20:12 
Użytkownik

Posty: 82
Lokalizacja: wawa
Udowodnij korzystając z np indukcji

3^n>n^3 ,n \ge 4

Sprawdzilem najpierw dla czterech, potem teza:

3^(n+1)>(n+1)^3

Rozpisałem do :

3^n*3>n^3+3n^2+3n+1

Prosze o pomoc nie wiem co dalej robic
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 paź 2011, o 20:28 
Użytkownik

Posty: 1272
Lokalizacja: Warszawa
pomnóż nierówność z zadania przez 3.. potem wystarczy dowieść, że 3n^3>(n+1)^3 dla takich n z zadania..
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 paź 2011, o 20:29 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18093
Lokalizacja: Cieszyn
Można też inaczej: logarytmując mamy równoważnie

n\ln 3>3\ln n, więc

\frac{\ln 3}{3}>\frac{\ln n}{n}.

Niech teraz f(x)=\frac{\ln{x}}{x}, stąd f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}<0\iff \ln x>1\iff x>\text{e} , więc w liczbach naturalnych mamy x\ge 3.

Oznacza to, że f maleje w [3,\infty), skąd f(3)>f(n) dla n\ge 4, co daje Twoją nierówność.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 paź 2011, o 20:49 
Użytkownik

Posty: 82
Lokalizacja: wawa
adambak napisał(a):
pomnóż nierówność z zadania przez 3.. potem wystarczy dowieść, że 3n^3>(n+1)^3 dla takich n z zadania..



Jak byś mógł bardziej mi to rozpisać choć 2,3 linijki co do rozw szw1710 nie moj poziom jeszcze ;]

Szkoda ze nie da sie dowodu indukcja przejść a tą ja mieliśmy na zajęciach,
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 paź 2011, o 20:51 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18093
Lokalizacja: Cieszyn
Jak najbardziej to zadanie na dowód indukcyjny. Ale ja nie znoszę indukcji tam, gdzie jej nie trzeba. Więc niech się pomęczą młodsi Koledzy, jeśli oczywiście mają na to ochotę :)

Pochodnych jeszcze nie miałeś (i badania monotoniczności funkcji za pomocą pochodnych)?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 paź 2011, o 20:54 
Użytkownik

Posty: 82
Lokalizacja: wawa
szw1710 napisał(a):
Jak najbardziej to zadanie na dowód indukcyjny. Ale ja nie znoszę indukcji tam, gdzie jej nie trzeba. Więc niech się pomęczą młodsi Koledzy, jeśli oczywiście mają na to ochotę :)

Pochodnych jeszcze nie miałeś (i badania monotoniczności funkcji za pomocą pochodnych)?


Dzięki za pomoc, liczę na młodzież.

Według programu nie, chodz sam trochę poznałem
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 paź 2011, o 20:57 
Korepetytor

Posty: 1830
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
Dowodzenie nierówności całkowitoliczbowych za pomocą pochodnej nie jest fajne.

EDIT. Przepraszam, że wyraziłem własne zdanie na temat rozwiązania zadania za pomocą brzydkiej metody.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 paź 2011, o 21:01 
Gość Specjalny

Posty: 5019
Lokalizacja: Warszawa
Zakładamy, że nierówność 3^n>n^3 ,n \ge 4 jest prawdziwa, również przy okazji zauważamy, że 3^{n+1}>3n^3 jest prawdziwa. Musimy udowodnić, że 3^{n+1}>(n+1)^3. Wystarczy udowodnić, że: 3^{n+1}>3n^3>(n+1)^3, pierwsza nierówność jest prawdziwa z założenia, także zostaje nam rozwiązać. 3n^3>(n+1)^3, nierówności umiesz chyba już rozwiązać?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 paź 2011, o 21:02 
Użytkownik

Posty: 1272
Lokalizacja: Warszawa
kiler7, nie chciałbym Cię rozczarować, ale też użyłem do tego pochodnych.. ale fajnie się liczyło..

3n^3>(n+1)^3

2n^3-3n^2-3n-1>0

f(n)=2n^3-3n^2-3n-1>0, \ f(4)>0

no to badamy tą funkcję, czy spełnia warunki że dla czwórki wzwyż będzie tylko dodatnia..

f'(n)=6n^2-6n-3

teraz tylko liczymy deltę i widzimy że nie dość że f(4)>0 to w dodatku pochodna jest dodatnia na przedziale (\frac{1+\sqrt3}{2};+\infty), a więc funkcja już tylko rośnie co nam wystarcza..
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 paź 2011, o 21:03 
Użytkownik

Posty: 82
Lokalizacja: wawa
kamil13151 napisał(a):
Zakładamy, że nierówność 3^n>n^3 ,n \ge 4 jest prawdziwa, również przy okazji zauważamy, że 3^{n+1}>3n^3 jest prawdziwa. Musimy udowodnić, że 3^{n+1}>(n+1)^3. Wystarczy udowodnić, że: 3^{n+1}>3n^3>(n+1)^3, pierwsza nierówność jest prawdziwa z założenia, także zostaje nam rozwiązać. 3n^3>(n+1)^3, nierówności umiesz chyba już rozwiązać?



Tak defakto to w 1 poscie moim doszedłem do 3n^3>(n+1)^3 i cos tam starałem się rozpisać ale mi nie wychodziło
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 paź 2011, o 21:06 
Gość Specjalny

Posty: 5019
Lokalizacja: Warszawa
f(4)>0 i \lim_{n \to  \infty } 2n^3-3n^2-3n-1= \infty To chyba wystarcza? :).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 paź 2011, o 21:08 
Użytkownik

Posty: 82
Lokalizacja: wawa
kamil13151 napisał(a):
f(4)>0 i \lim_{n \to  \infty } 2n^3-3n^2-3n-1= \infty To chyba wystarcza? :).



Tak ,ale dowód nadal nie indukcyjny tresc moze nie wymaga ale czlowiek dla sportu by chicał to indukcyjnie pokazac
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 paź 2011, o 21:11 
Gość Specjalny

Posty: 5019
Lokalizacja: Warszawa
To dowód indukcyjny, nierówność 3n^3>(n+1)^3 uzasadniłem dla n \ge 4, ale wcześniej powołałem się na indukcję.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 paź 2011, o 21:12 
Użytkownik

Posty: 1272
Lokalizacja: Warszawa
kamil13151 napisał(a):
f(4)>0 i \lim_{n \to  \infty } 2n^3-3n^2-3n-1= \infty To chyba wystarcza? :).


ja bym się bał mówić czy wystarcza.. funkcja mogłaby jeszcze zakręcić (choć wiem, że wiesz, że nie zakręca ;) )
olaliście chyba mój post, w którym jest dosyć ściśle napisane co nam wystarczy do dowodu :)

kiler7, to jest indukcja, tylko taka piękna w połączeniu z analizą.. ja się cieszę jak widzę zadanie w którym muszę użyć kilku narzędzi..
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 paź 2011, o 21:13 
Gość Specjalny

Posty: 5019
Lokalizacja: Warszawa
adambak, no właśnie też się boję, dlatego na koniec wypowiedzi dałem znak zapytania czy wystarcza :).
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 20 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 indukcja nierówność  YYssYY  11
 indukcja nierówność - zadanie 2  witn11  4
 indukcja nierównośc  mnij  2
 Indukcja nierówność - zadanie 3  jacek_ns  1
 indukcja nierownosc  maryjusz  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl