szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 paź 2011, o 18:15 
Użytkownik

Posty: 148
Lokalizacja: Warszawa
Czyli udowodnić, że
(\sqrt{a})^2 = a

Można korzystać z podstawowych aksjomatów dot. zbioru R oraz definicji:
Kwadrat
x^1 = x
x^{n+1} = x^n  \cdot  x

Pierwiastek
\sqrt[n]{a} = \sup A
\sup A = \{x \ge 0:x^n  \le a\}

Niestety, żadne sensowne rozwiązanie nie przychodzi mi do głowy.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 paź 2011, o 21:41 
Użytkownik

Posty: 5105
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Masz do pokazania dwie nierówności: (\sup A)^2\le a oraz (\sup A)^2\ge a. Która z nich sprawia problem?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 paź 2011, o 11:32 
Użytkownik

Posty: 148
Lokalizacja: Warszawa
No powiedzmy, z pierwszą nierównością bym sobie jakoś poradził. Tylko jak ugryźć tą drugą?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 paź 2011, o 13:01 
Użytkownik

Posty: 5105
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Po pierwsze widzimy, że zbiór \{x\ge0:x^2\le a\} jest ograniczony z góry przez \max(1,a), więc \sup A<\infty.

Można skorzystać z ciągłości funkcji f(x)=2x\cdot\sup A+x^2, ale pokażę bardziej bezpośrednie podejście.

Załóżmy, że (\sup A)^2<a. Weźmy pewien x, taki że 0<x<\min\left(1,\frac{a-(\sup A)^2}{2\sup A +1}\right). Wtedy (\sup A+x)\not\in A, bo x>0.

Ponadto mamy nierówności

(\sup A + x)^2=(\sup A)^2+2x\cdot\sup A+x^2<
(\sup A)^2+2x\cdot\sup A+x=\\\\
=(\sup A)^2+x\cdot(2\sup A+1)<(\sup A)^2 +(a-(\sup A)^2)=a,

więc \sup A+x\in A. Sprzeczność.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 paź 2011, o 11:20 
Użytkownik

Posty: 148
Lokalizacja: Warszawa
Dziękuje bardzo, wyjaśnioło się sporo.

Pozdrawiam
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Trzy zadania z egzaminu - styczna, błąd i wartośc pierwiastk  statystyka  5
 Udowdnij, że jeżeli x należy do A to 1/x też należy do A  Sz4kil  2
 szereg udowdnij  mat9876  1
 Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń - udowdnij  ochkarol  1
 Udowdnij nierówność  GetOut13  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl