szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lis 2011, o 17:30 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17298
Lokalizacja: Cieszyn
I jeszcze jeden krótki tekst o zastosowaniu ilorazów różnicowych wyższych rzędów.

Niech f:(a,b)\to\mathbb{R}. Dla dowolnych x_0,\dots,x_n\in(a,b) (wzajemnie różnych) istnieje dokładnie jeden wielomian w stopnia co najwyżej n taki, że w(x_i)=f(x_i),\;i=0,1,\dots,n. Można go wyznaczyć za pomocą wzoru Newtona:

\begin{aligned}
 w(x)&=f(x_0)+[x_0,x_1;f](x-x_0)+[x_0,x_1,x_2;f](x-x_0)(x-x_1)+\\
       &\phantom{=}+\dots+[x_0,x_1,\dots,x_n;f](x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_{n-1}).
\end{aligned}

Bardzo interesująca jest postać błędu tej interpolacji:

f(x)-w(x)=[x_0,x_1,\dots,x_n,x;f](x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_n)\,,

co w połączeniu z twierdzeniem o wartości średniej dla ilorazów różnicowych wyższych rzędów (zob. 269333.htm) daje (przy odpowiednich założeniach regularnościowych - ciągłość pochodnej rzędu n+1), że

f(x)-w(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_n)

dla pewnego \xi\in\bigl(\min\{x_0,\dots,x_n,x\},\max\{x_0,\dots,x_n,x\}\bigr).

Oczywiście wielomian interpolacyjny można też wyznaczyć wg wzoru Lagrange'a - jest to przecież ten sam wielomian. Zatem błąd interpolacji Lagrange'a ma identyczną postać.
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Utwórz nowy temat Ten temat jest zamknięty. Nie możesz w nim pisać ani edytować postów.  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Metoda Newtona - przybliżone rozwiązywanie równań  bolo  0
 dwumian Newtona - zadanie 66  Fritillaria  4
 zadania z dwumianu newtona  yog18  4
 Prawdopodobieństwo wzór Bayesa  kabatkubol  1
 wyprowadz wzór - zadanie 9  siatkarz1985  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com