szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 lis 2011, o 18:30 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: Warszawa
Jak udowodnić, że jeżeli do nierówności Bernoulliego, wstawić wykładnik dodatni, znajdujący się pomiędzy 0 a 1, to ta nierówność zmienia znak, tak jak np. w tym równaniu:

a^{1/n} - 1 <  \frac{a-1}{n}

powiedzmy dla a > 1 i n \in N

Znalazłem ją w starym, poczciwym Fichtenholzu, a powstała ona z przekształcenia ogólnego wzoru na nierówność Bernoulliego dla x = a -1:

(x+1)^{n} > 1 + nx
a^{n} > 1 + n(a - 1)

Nie rozumiem tylko, czemu nierówność zmienia tutaj znak, w sensie czy da się to jakoś udowodnić. Będę bardzo wdzięczny za pomoc.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 lis 2011, o 19:13 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 261
Lokalizacja: Warszawa
To wynika z tego, że nierówność Bernoulliego to:

\left( x+1\right)^{n}  \le 1+nx gdy n  \in (0,1)
Dowód tego można znaleźć z łatwością w necie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 lis 2011, o 19:57 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: Warszawa
Odpowiedzi nie ma w internecie, odpowiedź dla tego przedziału nie wydaje mi się oczywista, tak więc ponawiam prośbę o dowód.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 lis 2011, o 20:01 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7513
Lokalizacja: Wrocław
\left(1+\frac{a-1}{n} \right)^n > 1+(a-1)=a,

czyli

1+\frac{a-1}{n} > a^{\frac{1}{n}}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 lis 2011, o 20:10 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: Warszawa
Dziękuję bardzo za pomoc :) Swoją drogą, ciekawe podstawienie...
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Ograniczoność funkcji. Nierówność na kresach.  reksiak  0
 nierówność Jensena  Mapedd  1
 Udowodnic nierównoSC - zadanie 2  marcin111  5
 rozwiąz nierówność  prezio1988  3
 rozwiązać nierówność - zadanie 2  ami88  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl